AB — диаметр окружности, CD — хорда этой окружности. Перпендикуляры к хорде, проведённые через её концы C и D, пересекают прямую AB в точках K и M соответственно. Докажите, что AK = BM.

   Решение

Точка К – середина гипотенузы АВ прямоугольного равнобедренного треугольника ABC. Точки L и М выбраны на катетах ВС и АС соответственно так, что  BL = СМ.  Докажите, что треугольник LMK – также прямоугольный равнобедренный.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана одна его вершина и три прямых, на которых лежат его биссектрисы.

   Решение

В стране Древляндия 101 город, и некоторые из них соединены дорогами. При этом каждые два города соединяет ровно один путь.
Сколько в этой стране дорог?

   Решение

Стороны треугольника ABC касаются вписанной окружности в точках K, P и M, причём точка M расположена на стороне BC. Найдите угол KMP, если  ∠A = 2α.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по центру его описанной окружности и двум прямым, на которых лежат высоты треугольника.

   Решение

В кружке у каждого члена имеется один друг и один враг. Доказать, что
  а) число членов чётно.
  б) кружок можно разделить на два нейтральных кружка.

   Решение

Отрезки AA1 , BB1 и CC1 , концы которых лежат на сфере радиуса 10, попарно перпендикулярны и пересекаются в точке M . Известно, что AA1=12 , BB1 =18 и CM:MC1=11:3 . Найдите расстояние от центра сферы до точки M,

   Решение

p простых чисел a₁, a₂, ..., a_p образуют возрастающую арифметическую прогрессию и  a₁ > p.
Доказать, что если p – простое число, то разность прогрессии делится на p.

   Решение

Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: a₁ – сумма исходных чисел, a₂ – сумма квадратов исходных чисел, a₃ – сумма кубов исходных чисел, и т.д.
  а) Могло ли случиться, что до a₅ последовательность убывает  (a₁ > a₂ > a₃ > a₄ > a₅),  а начиная с a₅ – возрастает  (a₅ < a₆ < a₇ < ...)?
  б) А могло ли случиться наоборот: до a₅ последовательность возрастает, а начиная с a₅ – убывает?

   Решение

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 258]      

Прямоугольники P и Q равновелики, но у P диагональ больше. Двумя копиями P можно накрыть Q. Докажите, что двумя копиями Q можно накрыть P.

Прислать комментарий

Решение

Имеется n случайных векторов вида  (y₁, y₂, y₃),  где ровно одна случайная координата равна 1, остальные равны 0. Их складывают. Получается случайный вектор a с координатами  (Y₁, Y₂, Y₃).
  а) Найдите математическое ожидание случайной величины a².
  б) Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: a₁ – сумма исходных чисел, a₂ – сумма квадратов исходных чисел, a₃ – сумма кубов исходных чисел, и т.д.
  а) Могло ли случиться, что до a₅ последовательность убывает  (a₁ > a₂ > a₃ > a₄ > a₅),  а начиная с a₅ – возрастает  (a₅ < a₆ < a₇ < ...)?
  б) А могло ли случиться наоборот: до a₅ последовательность возрастает, а начиная с a₅ – убывает?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа n лежит на отрезке  

Прислать комментарий

Решение

Каковы первые четыре цифры числа  1¹ + 2² + 3³ + ... + 999⁹⁹⁹ + 1000¹⁰⁰⁰?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 258]