Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки?

   Решение

Двое игроков играют в карточную игру. У них есть колода из n попарно различных карт. Про любые две карты из колоды известно, какая из них бьёт другую (при этом, если A бьёт B, а B бьёт C, то может оказаться, что C бьёт A). Колода распределена между игроками произвольным образом. На каждом ходу игроки открывают по верхней карте из своих колод, и тот, чья карта бьёт карту другого игрока, берёт обе карты и кладёт их в самый низ своей колоды в произвольном порядке по своему усмотрению. Докажите, что при любой исходной раздаче игроки могут, зная расположение карт, договориться и действовать так, чтобы один из игроков остался без карт.

   Решение

На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC взяты такие точки A₁ и B₂, B₁ и C₂, C₁ и A₂, что отрезки A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ параллельны сторонам треугольника и пересекаются в точке P. Докажите, что PA₁ ^. PA₂ + PB₁ ^. PB₂ + PC₁ ^. PC₂ = R² - OP², где O — центр описанной окружности.

   Решение

Пусть l (n) — наименьшее число умножений, необходимое для нахождения xⁿ. На примере чисел n = 15 и n = 63 покажите, что бинарный метод возведения в степень (смотри задачу 5.64) не всегда оптимален, то есть для некоторых n выполняется неравенство l (n) < b(n).

   Решение

Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что  $a^{n+1} + b^{n+1}$  делится на  $a^n+b^n$  для бесконечного множества различных натуральных $n$. Обязательно ли тогда  $a = b$?

   Решение

Андрей Михайлович выписал на доску все возможные последовательности длины $2022$, состоящие из 1011 нулей и 1011 единиц. Назовём две последовательности совместимыми, если они совпадают ровно в 4 позициях. Докажите, что Андрей Михайлович может разбить все последовательности на 20 групп так, чтобы никакие две совместимые последовательности не попали в одну группу.

   Решение

Все клетки верхнего ряда квадрата 14× 14 заполнены водой, а в одной клетке лежит мешок с песком (см. рис.). За один ход Вася может положить мешки с песком в любые 3 не занятые водой клетки, после чего вода заполняет каждую из тех клеток, которые граничат с водой (по стороне), если в этой клетке нет мешка с песком. Ходы продолжаются, пока вода может заполнять новые клетки. Как действовать Васе, чтобы в итоге вода заполнила как можно меньше клеток?

   Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 1036]      

Учительница написала на доске двузначное число и спросила Диму по очереди, делится ли оно на 2? на 3? на 4? … на 9? На все восемь вопросов Дима ответил верно, причём ответов «да» и «нет» было поровну.
а) Можете ли вы теперь ответить верно хотя бы на один из вопросов учительницы, не зная самого числа?
б) А хотя бы на два вопроса?

Прислать комментарий

Решение

Все клетки верхнего ряда квадрата 14× 14 заполнены водой, а в одной клетке лежит мешок с песком (см. рис.). За один ход Вася может положить мешки с песком в любые 3 не занятые водой клетки, после чего вода заполняет каждую из тех клеток, которые граничат с водой (по стороне), если в этой клетке нет мешка с песком. Ходы продолжаются, пока вода может заполнять новые клетки. Как действовать Васе, чтобы в итоге вода заполнила как можно меньше клеток?

Прислать комментарий

Решение

Есть доска размером 7 × 12 клеток и кубик, грань которого равна клетке. Одна грань кубика окрашена невысыхающей краской. Кубик можно поставить в некоторую клетку доски и перекатывать через ребро на соседнюю грань. Ставить кубик дважды на одну и ту же клетку нельзя. Какое наибольшее количество клеток сможет посетить кубик, не испачкав доску краской?

Прислать комментарий

Решение

Семь городов соединены по кругу семью односторонними авиарейсами (см. рисунок). Назначьте (нарисуйте стрелочками) ещё несколько односторонних рейсов так, чтобы от любого города до любого другого можно было бы добраться, сделав не более двух пересадок. Постарайтесь сделать число дополнительных рейсов как можно меньше.

Прислать комментарий

Решение

Король вызвал двух мудрецов и объявил им задание: первый задумывает 7 различных натуральных чисел с суммой 100, тайно сообщает их королю, а второму мудрецу называет лишь четвертое по величине из этих чисел, после чего второй должен отгадать задуманные числа. У мудрецов нет возможности сговориться. Могут ли мудрецы гарантированно справиться с заданием?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 1036]