Версия для печати
Убрать все задачи
Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в
узлах квадратной сетки?
Решение
Двое игроков играют в карточную игру. У них есть колода из n попарно различных карт. Про любые две карты из колоды известно, какая из них бьёт другую (при этом, если A бьёт B, а B бьёт C, то может оказаться, что C бьёт A). Колода распределена между игроками произвольным образом. На каждом ходу игроки открывают по верхней карте из своих колод, и тот, чья карта бьёт карту другого игрока, берёт обе карты и кладёт их в самый низ своей колоды в произвольном порядке по своему усмотрению. Докажите, что при любой исходной раздаче игроки могут, зная расположение карт, договориться и действовать так, чтобы один из игроков остался без карт.
Решение
На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC взяты
такие точки A1 и B2, B1 и C2, C1 и A2, что
отрезки A1A2, B1B2 и C1C2 параллельны сторонам
треугольника и пересекаются в точке P. Докажите, что
PA1 . PA2 + PB1 . PB2 + PC1 . PC2 = R2 - OP2, где O — центр
описанной окружности.
Решение
Пусть l (n) — наименьшее число умножений,
необходимое для нахождения xn. На примере чисел n = 15 и
n = 63 покажите, что бинарный метод возведения в степень (смотри задачу
5.64) не
всегда оптимален, то есть для некоторых n выполняется
неравенство l (n) < b(n).
Решение
Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a^{n+1} + b^{n+1}$ делится на $a^n+b^n$ для бесконечного множества различных натуральных $n$. Обязательно ли тогда $a = b$?
Решение
Фильтр
