Версия для печати
Убрать все задачи

---

Возрастающая последовательность натуральных чисел $a_1 < a_2 < \dots$ такова, что при каждом целом $n > 100$ число $a_n$ равно наименьшему натуральному числу, большему чем $a_{n-1}$ и не делящемуся ни на одно из чисел $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$. Докажите, что в такой последовательности лишь конечное количество составных чисел.

   Решение

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 187]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110172

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Можно ли во всех точках плоскости с целыми координатами записать натуральные числа так, чтобы три точки с целыми координатами лежали на одной прямой тогда и только тогда, когда записанные в них числа имели общий делитель, больший единицы?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110926

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

На листке бумаги написаны натуральные числа от 1 до N. Игроки по очереди обводят в кружок одно число, соблюдая условие: любые два уже обведённых числа должны быть взаимно простыми. Два раза число обводить нельзя. Проигрывает тот, у кого нет хода.
  а) Кто – начинающий игру или ходящий вторым – победит при  N = 10?
  б) А при  N = 12?
  в) А при  N = 15?
  г) А при  N = 30?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111784

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, содержит точный куб натурального числа.
Докажите, что она содержит и точный куб, не являющийся точным квадратом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116644

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Для натуральных чисел  a > b > 1  определим последовательность  x₁, x₂, ...  формулой   .   Найдите наименьшее d, при котором ни при каких a и b эта последовательность не содержит d последовательных членов, являющихся простыми числами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67291

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Возрастающая последовательность натуральных чисел $a_1 < a_2 < \dots$ такова, что при каждом целом $n > 100$ число $a_n$ равно наименьшему натуральному числу, большему чем $a_{n-1}$ и не делящемуся ни на одно из чисел $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$. Докажите, что в такой последовательности лишь конечное количество составных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 187]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями