Страница:
<< 25 26 27 28
29 30 31 >> [Всего задач: 188]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Возрастающая последовательность натуральных чисел $a_1 < a_2 < \dots$ такова, что при каждом
целом $n > 100$ число $a_n$ равно наименьшему натуральному числу, большему чем $a_{n-1}$ и не делящемуся ни на одно из
чисел $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$. Докажите, что в такой последовательности лишь конечное
количество составных чисел.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10
|
Радикалом натурального числа N (обозначается rad(N)) называется произведение всех простых делителей числа N, взятых по одному разу. Например,
rad(120) = 2·3·5 = 30. Существует ли такая тройка попарно взаимно простых натуральных чисел A, B, C, что A + B = C и C > 1000 rad(ABC)?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Решите в натуральных числах уравнение xy = yx при x ≠ y.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Пусть натуральные числа x, y, p, n и k таковы, что
xn + yn = pk.
Докажите, что если число n (n > 1) нечётно, а число p нечётное простое, то n является степенью числа p (с натуральным показателем).
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Числа от 1 до 1000000 покрашены в два цвета – чёрный и белый. За ход
разрешается выбрать любое число от 1 до 1000000 и перекрасить его и все числа,
не взаимно простые с ним, в противоположный цвет. Вначале все числа были чёрными.
Можно ли за несколько ходов добиться того, что все числа станут белыми?
Страница:
<< 25 26 27 28
29 30 31 >> [Всего задач: 188]
Фильтр
