Каталог по темам

Задачи

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 215]

Задача 79261

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Алгоритм Евклида	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Гальперин Г.А.

В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?

Прислать комментарий

Решение

Задача 111928

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Связность. Связные множества	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Косухин О.Н.

Докажите, что при любом разбиении ста "двузначных" чисел 00, 01, ..., 99 на две группы некоторые числа хотя бы одной группы можно записать в ряд так, чтобы каждые два соседних числа этого ряда отличались друг от друга на 1, 10 или 11, и хотя бы в одном из двух разрядов (единиц или десятков) встречались все 10 различных цифр.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73710

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Автор: Гервер М.Л.

а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на m равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезавшие треугольник на m² маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить N вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин A и B отрезок АВ не был параллелен ни одной из сторон. Каково наибольшее возможное значение N (при заданном m)?

б) Разделим каждое ребро тетраэдра на m равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим N вершин так, чтобы никакие две отмеченные вершины не лежали на прямой, параллельной одной из граней. Каково наибольшее возможное N?

в) Среди решений уравнения x₁ + x₂ + ... + x_k = m в целых неотрицательных числах нужно выбрать N решений так, чтобы ни в каких двух из выбранных решений ни одна переменная x_i не принимала одного и того же значения. Чему равно наибольшее возможное значение N?

Прислать комментарий

Решение

Задача 111639

Темы:	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Перебор случаев	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Ященко И.В.

В магазине продают DVD-диски – по одному и упаковками двух видов (упаковки разных видов различаются по количеству и стоимости). Вася подсчитал, сколько требуется денег, чтобы купить N дисков (если выгоднее всего купить больше дисков, чем нужно – Вася так и делает):

Сколько дисков было в упаковках и по какой цене упаковки продавались?
Какое количество денег необходимо Васе, чтобы купить не менее 29 дисков?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65980

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 6,7

Автор: Шаповалов А.В.

Можно ли так расставить цифры 1, 2, ..., 8 в клетках а) буквы Ш; б) полоски (см. рис.), чтобы при любом разрезании фигуры на две части сумма всех цифр в одной из частей делилась на сумму всех цифр в другой? (Резать можно только по границам клеток. В каждой клетке должна стоять одна цифра, каждую цифру можно использовать только один раз.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 215]