Каталог по темам

Задачи

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 222]

Задача 107677

Темы:	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Таблица имеет форму квадрата со стороной длины n. В первой строчке таблицы стоит одно число – 1. Во второй – два числа – две двойки, в третьей – три четвёрки, и т.д.:

(здесь нарисован квадрат 4×4). В каждой следующей строчке стоит следующая степень двойки. Длина строчек сначала растёт, а затем убывает так, чтобы получился квадрат. Докажите, что сумма всех чисел таблицы есть квадрат некоторого целого числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 34865

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 4-

Во всех клетках таблицы 20×20 расставлены плюсы. Разрешается менять знак одновременно во всех клетках строки или столбца.
Можно ли, пользуясь этими операциями, получить ровно 199 минусов?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79261

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Алгоритм Евклида	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Гальперин Г.А.

В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?

Прислать комментарий

Решение

Задача 111928

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Связность. Связные множества	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Косухин О.Н.

Докажите, что при любом разбиении ста "двузначных" чисел 00, 01, ..., 99 на две группы некоторые числа хотя бы одной группы можно записать в ряд так, чтобы каждые два соседних числа этого ряда отличались друг от друга на 1, 10 или 11, и хотя бы в одном из двух разрядов (единиц или десятков) встречались все 10 различных цифр.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73710

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Автор: Гервер М.Л.

а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на m равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезавшие треугольник на m² маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить N вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин A и B отрезок АВ не был параллелен ни одной из сторон. Каково наибольшее возможное значение N (при заданном m)?

б) Разделим каждое ребро тетраэдра на m равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим N вершин так, чтобы никакие две отмеченные вершины не лежали на прямой, параллельной одной из граней. Каково наибольшее возможное N?

в) Среди решений уравнения x₁ + x₂ + ... + x_k = m в целых неотрицательных числах нужно выбрать N решений так, чтобы ни в каких двух из выбранных решений ни одна переменная x_i не принимала одного и того же значения. Чему равно наибольшее возможное значение N?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 222]