Каталог по темам

Задачи

Страница: << 130 131 132 133 134 135 136 >> [Всего задач: 1110]

Задача 73732

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов записаны mn положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все n таких произведений. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма аналогичных произведений будет не меньше, чем в первоначальной. Решите эту задачу для
а) m = n = 2;
б) m = 2 и произвольного n;
в) любых натуральных m и n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73755

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Наибольшая или наименьшая длина	]
	[	Шахматная раскраска	]
	[	Внутренность и внешность. Лемма Жордана	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Климов А.В.

Король обошёл шахматную доску, побывав на каждом поле ровно один раз и вернувшись последним ходом на исходное поле. (Король ходит по обычным правилам: за один ход он может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любое соседнее поле.) Когда нарисовали его путь, последовательно соединив центры полей, которые он проходил, получилась замкнутая ломаная без самопересечений. Какую наименьшую и какую наибольшую длину может она иметь? (Сторона клетки равна единице.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 73797

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Рабинович В., Рабинович Л.

Какое наибольшее количество а) ладей; б) ферзей можно расставить на шахматной доске 8×8 так, чтобы каждая из этих фигур была под ударом не более чем одной из остальных?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73803

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
Темы:	[	Теория игр (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Автор: Кацыло П.

В углу шахматной доски стоит фигура. Первый игрок может ходить ею два раза подряд как обычным конём (на два поля в одном направлении и на одно – в перпендикулярном), а второй – один раз как конём с удлинённым ходом (на три поля в одном направлении и на одно – в перпендикулярном). Так они ходят по очереди. Первый стремится к тому, чтобы поставить фигуру в противоположный угол, а второй – ему помешать. Кто из них выигрывает (размеры доски – n×n, где n > 3)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78161

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Игральная доска имеет форму ромба с углом 60°. Каждая сторона ромба разделена на девять частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам и малой диагонали ромба, разбивающие доску на треугольные клетки. Если на некоторой клетке поставлена фишка, проведём через эту клетку три прямые, параллельные сторонам и малой диагонали ромба. Клетки, которые они пересекут, будут считаться побитыми фишкой. Каким наименьшим числом фишек можно побить все клетки доски?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 130 131 132 133 134 135 136 >> [Всего задач: 1110]