Версия для печати
Убрать все задачи

---

Имеется 1959 положительных чисел a₁, a₂..., a₁₉₅₉, сумма которых равна 1. Рассматриваются всевозможные комбинации из 1000 чисел, причём комбинации считаются совпадающими, если они отличаются только порядком чисел. Для каждой комбинации рассматривается произведение входящих в неё чисел. Доказать, что сумма всех этих произведений меньше 1.

   Решение

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 177]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97861

Темы:   [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Найти все решения системы уравнений:   (x + y)³ = z,  (y + z)³ = x,  (z + x)³ = y.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105127

Темы:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Разложение на множители ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Пусть a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство  a³ + b³ + 3abc > c³.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66160

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Пусть P(x) – многочлен степени  n ≥ 2  с неотрицательными коэффициентами, а a, b и c – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа    также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78178

Темы:   [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Арифметические действия. Числовые тождества ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Имеется 1959 положительных чисел a₁, a₂..., a₁₉₅₉, сумма которых равна 1. Рассматриваются всевозможные комбинации из 1000 чисел, причём комбинации считаются совпадающими, если они отличаются только порядком чисел. Для каждой комбинации рассматривается произведение входящих в неё чисел. Доказать, что сумма всех этих произведений меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111835

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Тождественные преобразования ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Дан многочлен  P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n.  Положим  m = min {a₀, a₀ + a₁, ..., a₀ + a₁ + ... + a_n}.
Докажите, что  P(x) ≥ mxⁿ  при  x ≥ 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 177]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями