Каталог по темам

Задачи

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 203]

Задача 60740

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дано простое p и целое a, не делящееся на p. Пусть k – наименьшее натуральное число, при котором a^k ≡ 1 (mod p). Докажите, что p – 1 делится на k.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60756

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и p > 3.
а) Докажите, что если разрешимо сравнение x² + x + 1 ≡ 0 (mod p), то p ≡ 1 (mod 6).
б) Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 6k + 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60757

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и p > 5. Докажите, что если разрешимо сравнение x⁴ + x³ + x² + x + 1 ≡ 0 (mod p), то p ≡ 1 (mod 5).
Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 5n + 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78037

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

p простых чисел a₁, a₂, ..., a_p образуют возрастающую арифметическую прогрессию и a₁ > p.
Доказать, что если p – простое число, то разность прогрессии делится на p.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78213

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде p + n^2k ни при каких простых p и целых n и k.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 203]