Страница:
<< 19 20 21 22
23 24 25 >> [Всего задач: 694]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Изначально на доске записаны несколько натуральных чисел (больше одного). Затем каждую минуту на доску дописывается число, равное сумме квадратов всех уже записанных на ней чисел (так, если бы на доске изначально были записаны числа 1, 2, 2, то на первой минуте было бы дописано число 1² + 2² + 2²). Докажите, что сотое дописанное число имеет хотя бы 100 различных простых делителей.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Пусть $n$ – натуральное число. Назовём последовательность $a_1, a_2, ..., a_n$ интересной, если для каждого $i$ = 1, 2, ..., $n$ верно одно из равенств $a_i = i$ или $a_i = i$ + 1. Назовём интересную последовательность чётной, если сумма её членов чётна, и нечётной – иначе. Для каждой нечётной интересной последовательности нашли произведение её чисел и записали его на первый листок. Для каждой чётной – сделали то же самое и записали на второй листок. На каком листке сумма чисел больше и на сколько? (Дайте ответ в зависимости от $n$.)
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Можно ли увезти из каменоломни 50 камней, массы которых 370 кг, 372 кг, 374 кг, ..., 468 кг (арифметическая прогрессия с разностью 2 кг), на семи трёхтонках?
Дана последовательность чисел 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., в которой каждое
число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. В этой
последовательности выбрано восемь чисел подряд. Докажите, что их сумма не равна
никакому числу рассматриваемой последовательности.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Дана последовательность чисел F1, F2, ...; F1 = F2 = 1 и
Fn+2 = Fn + Fn+1. Доказать, что F5k делится на 5 при k = 1, 2, ... .
Страница:
<< 19 20 21 22
23 24 25 >> [Всего задач: 694]
Фильтр
Решение 
