Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существует ли такое целое число r, что    является целым числом при любом n?

   Решение

---

Число e определяется равенством    Докажите, что

а)  

б)    где  0 < r_n ≤ 1/_n!n;

в)  e – иррациональное число.

   Решение

---

Бинарный метод возведения в степень. Предположим, что необходимо возвести число x в степень n. Если, например, n = 16, то это можно сделать выполнив 15 умножений x¹⁶ = x ^. x ^. ... ^. x, а можно обойтись лишь четырьмя:

Пусть

Придумайте алгоритм, который позволял бы вычислять xⁿ при помощи

умножений, где (n) = r — число единиц в двоичном представлении числа n.

   Решение

---

Точки A₁,..., A_n лежат на одной окружности, а M — их центр масс. Прямые MA₁,..., MA_n пересекают эту окружность в точках B₁,..., B_n (отличных от A₁,..., A_n). Докажите, что MA₁ +...+ MA_nMB₁ +...+ MB_n.

   Решение

---

Квадрат ABCD вращается вокруг своего неподвижного центра. Найдите геометрическое место середин отрезков PQ, где P — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на неподвижную прямую l, а Q — середина стороны AB.

   Решение

---

Дана таблица n×n клеток и такие натуральные числа k и  m > k,  что m и  n – k  взаимно просты. Таблица заполняется следующим образом: пусть в некоторой строчке записаны числа  a₁, ..., a_k, a_k+1, ..., a_m, a_m+1, ..., a_n.  Тогда в следующей строчке записываются те же числа, но в таком порядке:  a_m+1, ..., a_n, a_k+1, ..., a_m, a₁, ..., a_k.  В первую строчку записываются (по порядку) числа  1, 2, ..., n.  Доказать, что после заполнения таблицы в каждом столбце будут написаны все числа от 1 до n.

   Решение

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 276]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116633

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Существуют ли три взаимно простых в совокупности натуральных числа, квадрат каждого из которых делится на сумму двух оставшихся?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116676

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9

Рациональные числа x, y и z таковы, что все числа  x + y² + z²,  x² + y + z²  и  x² + y² + z  целые. Докажите, что число 2x целое.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78628

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Дана таблица n×n клеток и такие натуральные числа k и  m > k,  что m и  n – k  взаимно просты. Таблица заполняется следующим образом: пусть в некоторой строчке записаны числа  a₁, ..., a_k, a_k+1, ..., a_m, a_m+1, ..., a_n.  Тогда в следующей строчке записываются те же числа, но в таком порядке:  a_m+1, ..., a_n, a_k+1, ..., a_m, a₁, ..., a_k.  В первую строчку записываются (по порядку) числа  1, 2, ..., n.  Доказать, что после заполнения таблицы в каждом столбце будут написаны все числа от 1 до n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64532

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В ячейку памяти компьютера записали число 6. Далее компьютер делает миллион шагов. На шаге номер n он увеличивает число в ячейке на наибольший общий делитель этого числа и n. Докажите, что на каждом шаге компьютер увеличивает число в ячейке либо на 1, либо на простое число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109752

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Найдите все такие нечётные натуральные  n > 1,  что для любых взаимно простых делителей a и b числа n число  a + b – 1  также является делителем n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 276]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями