Страница:
<< 58 59 60 61
62 63 64 >> [Всего задач: 333]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Пусть n и b – натуральные числа. Через V(n, b) обозначим число разложений n на сомножители, каждый из которых больше b (например:
36 = 6·6 = 4·9 = 3·3·4 = 3·12, так что V(36, 2) = 5). Докажите, что V(n, b) < n/b.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
С ненулевым числом разрешается проделывать следующие
операции:
x
,
x
. Верно ли, что из каждого ненулевого
рационального числа можно получить каждое рациональное
число с помощью конечного числа таких операций?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Дана функция f(x), значение которой при любом целом x целое. Известно, что для любого простого числа p существует такой многочлен Qp(x) степени, не превышающей 2013, с целыми коэффициентами, что f(n) – Qp(n) делится на p при любом целом n. Верно ли, что существует такой многочлен g(x) с вещественными коэффициентами , что g(n) = f(n) для любого целого n?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Рассматриваются всевозможные
n-значные числа, составленные из цифр 1, 2 и
3. В конце каждого из этих чисел приписывается цифра 1, 2 или 3 так,
что к двум числам, у которых во всех разрядах стоят разные цифры, приписываются
разные цифры. Доказать, что найдется
n-значное число, в записи которого
участвует лишь одна единица и к которому приписывается единица.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 7,8,9
|
Каждая клетка шахматной доски закрашена в один из цветов – синий или красный. Докажите, что клетки одного из цветов обладают тем свойством, что их может обойти шахматный ферзь (на клетках этого цвета ферзь может побывать не один раз, на клетки другого цвета он не ставится, но может через них перепрыгивать).
Страница:
<< 58 59 60 61
62 63 64 >> [Всего задач: 333]
Фильтр
Решение 
