Каталог по темам

Задачи

Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 >> [Всего задач: 328]

Задача 110138

Темы:	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 6-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Докажите, что выпуклый многоугольник может быть разрезан непересекающимися диагоналями на остроугольные треугольники не более, чем одним способом.

Прислать комментарий Решение

Задача 79290

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Вспомогательная раскраска	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Автор: Климов А.В.

Прямоугольный лист бумаги размером a×b см разрезан на прямоугольные полоски, каждая из которых имеет сторону 1 см. Линии разрезов параллельны сторонам исходного листа. Доказать, что хотя бы одно из чисел a или b целое.

Прислать комментарий Решение

Задача 109652

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Инварианты	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Автор: Фон-дер-Флаас Д.

На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по нескольку в одной клетке). Разрешается выполнять следующие действия:

Снять по одному камню с клеток n-1 и n и положить один камень в клетку n+1 ;
Снять два камня с клетки n и положить по одному камню в клетки n+1 , n-2 .

Докажите, что при любой последовательности действий мы достигнем ситуации, когда указанные действия больше выполнять нельзя, и эта конечная ситуация не зависит от последовательности действий (а зависит только от начальной раскладки камней по клеткам).

Прислать комментарий

Решение

Задача 35392

Темы:	[	Рекуррентные соотношения	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Вялый М.Н.

Последовательность {a_n} определяется правилами: a₀ = 9, .
Докажите, что в десятичной записи числа a₁₀ содержится не менее 1000 девяток.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98246

Темы:	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Деление с остатком	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Алгоритм Евклида	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Канель-Белов А.Я.

Периоды двух последовательностей – m и n – взаимно простые числа. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 >> [Всего задач: 328]