Фильтр
Выбрано 20 задач Убрать все задачи
По стороне правильного треугольника катится окружность радиуса, равного его высоте. Докажите, что угловая величина дуги, высекаемой на окружности сторонами треугольника, всегда равна 600.
Решить в натуральных числах уравнение:
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты
точки A1, B1 и C1, причем
AC1 = AB1, BA1 = BC1 и CA1 = CB1.
Докажите, что A1, B1 и C1 — точки касания вписанной
окружности со сторонами.
Имеются три литровых банки и мерка объемом 100 мл. Первая банка пуста, во второй – 700 мл сладкого чая, в третьей – 800 мл сладкого чая. При этом во второй банке растворено 50 г сахара, а в третьей – 60 г сахара. Разрешается набрать из любой банки полную мерку чая и перелить весь этот чай в любую другую банку. Можно ли несколькими такими переливаниями добиться, чтобы первая банка была пуста, а количество сахара во второй банке равнялось количеству сахара в третьей банке?
Докажите, что 2(x² + y²) ≥ (x + y)² при любых x и y.
Докажите, что если произведение двух положительных чисел больше их суммы, то сумма больше 4.
Незнайка выписал семь двузначных чисел в порядке возрастания. Затем одинаковые цифры заменил одинаковыми буквами, а разные – разными. Получилось вот что: ХА, АЙ, АХ, ОЙ, ЭМ, ЭЙ, МУ. Докажите, что Незнайка что-то перепутал.
Король Артур хочет заказать кузнецу новый рыцарский щит по своему эскизу. Король взял циркуль и нарисовал три дуги радиусом $1$ ярд так, как показано на рисунке. Чему равняется площадь щита? Ответ округлите до сотых. Напомним, что площадь круга радиуса $r$ равна $\pi r^2$, $\pi\approx 3,14$.
а) Докажите, что в таблице
б) В каждой ли строке (кроме первых двух) встречается число, кратное 3?
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 25o. Под каким углом виден каждый его катет из центра описанной окружности?
Натуральные числа от 1 до 100 раскрашены в три цвета: 50 чисел – в красный, 25 чисел – в жёлтый и 25 – в зелёный. Известно, что все красные и жёлтые числа можно разбить на 25 троек так, чтобы в каждой тройке было два красных числа и одно жёлтое, которое больше одного красного и меньше другого. Аналогичное утверждение верно для красных и зелёных чисел. Обязательно ли все 100 чисел можно разбить на 25 четвёрок, в каждой из которых два красных числа, одно жёлтое и одно зелёное, при этом жёлтое и зелёное числа лежат между красными?
Вычислите производящие функции следующих последовательностей:
а) б)
Однажды осенью Рассеянный Учёный глянул на свои старинные настенные часы и увидел, что на циферблате уснули три мухи. Первая спала в точности на отметке 12 часов, а две другие так же аккуратно расположились на отметках 2 часа и 5 часов. Учёный произвёл измерения и определил, что часовая стрелка мухам не грозит, а вот минутная сметёт их всех по очереди. Найдите вероятность того, что ровно через 40 минут после того, как Учёный заметил мух, ровно две мухи из трёх были сметены минутной стрелкой.
Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности.
На танцплощадке собрались N юношей и N девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?
Расследуя одно дело, следователь Башковицкий обнаружил, что ключевой свидетель – тот из семьи Петровых, кто в тот роковой день пришёл домой прежде прочих. Расследование выявило следующие факты.
1. Соседка Марья Кузьминична хотела одолжить у Петровых соли, звонила им в дверь, но никто не открыл. Во сколько? Да кто ж знает? Темно уж было...
2. Галина Ефимовна Петрова, придя вечером домой, обнаружила обоих детей на кухне, а мужа на диване – у него болела голова.
3. Муж Анатолий Иванович заявил, что как пришёл, сразу лёг на диван и задремал, никого не видел, ничего не слышал, соседка точно не приходила – звонок бы его разбудил.
4. Дочь Светлана сказала, что, вернувшись домой, сразу ушла к себе в комнату, про отца ничего не знает, но в прихожей, как всегда, споткнулась о Димкин ботинок.
5. Дмитрий когда пришёл – не помнит, отца не видел, а как Светка ругалась из-за ботинка – слышал.
"Ага, – задумался Башковицкий. – Какова же вероятность того, что Дмитрий вернулся домой раньше отца?"
В некотором королевстве было 32 рыцаря. Некоторые из них были вассалами
других (вассал может иметь только одного сюзерена, причём сюзерен всегда богаче
своего вассала). Рыцарь, имевший не менее четырёх вассалов, носил титул барона.
Какое наибольшее число баронов могло быть при этих условиях?
(В королевстве действовал закон: "вассал моего вассала – не мой вассал".)
В параллелограмме ABCD сторона AB = 420. На стороне BC взята точка E так, что BE : EC = 5: 7, и проведена прямая DE, пересекающая продолжение AB в точке F. Найдите BF.
Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет счастливым, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть N – количество счастливых билетов. Докажите равенства:
а) (1 + x + ... + x9)3(1 + x–1 + ... + x–9)3 = x27 + ... + a1x + N + a1x + ... + x–27;
б) (1 + x + ... + x9)6 = 1 + ... + Nx27 + ... + x54.
в) Найдите число счастливых билетов.
Каждая точка числовой оси, координата которой – целое число, покрашена либо в красный, либо в синий цвет. Доказать, что найдётся цвет со следующим свойством: для каждого натурального числа k имеется бесконечно много точек этого цвета, координаты которых делятся на k.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 398]
Задача 66073 |
|
|
По кругу написано 100 ненулевых чисел. Между каждыми двумя соседними числами написали их произведение, а прежние числа стерли. Количество положительных чисел не изменилось. Какое минимальное количество положительных чисел могло быть написано изначально?
|
|
Решение |
Задача 66151 |
|
|
На доске написаны n > 3 различных натуральных чисел, меньших чем (n – 1)!. Для каждой пары этих чисел Серёжа поделил большее на меньшее с остатком и записал в тетрадку полученное неполное частное (так, если бы он делил 100 на 7, то он бы получил 100 = 14·7 + 2 и записал бы в тетрадку число 14). Докажите, что среди чисел в тетрадке найдутся два равных.
|
|
|
Решение |
Задача 73633 |
|
|
а) Докажите, что в таблице
б) В каждой ли строке (кроме первых двух) встречается число, кратное 3?
|
|
Решение |
Задача 79335 |
|
|
Каждая точка числовой оси, координата которой – целое число, покрашена либо в красный, либо в синий цвет. Доказать, что найдётся цвет со следующим свойством: для каждого натурального числа k имеется бесконечно много точек этого цвета, координаты которых делятся на k.
|
|
|
Решение |
Задача 116661 |
|
|
Можно ли 100 гирь массами 1, 2, 3, ..., 99, 100 разложить на 10 кучек разной массы так, чтобы выполнялось условие: чем тяжелее кучка, тем меньше в ней гирь?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 398]
