Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В окружность радиуса R вписан шестиугольник ABCDEF. Известно, что $ \angle$A = $ \angle$C = $ \angle$E, AB = a, CD = b, EF = c. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.

Вниз   Решение


Пусть A, B и C – три числа, большие 0 и меньшие 1, K – наибольшее из них. Докажите, что  1 – (1 – A)(1 – B)(1 – C) > K.

ВверхВниз   Решение


Сто положительных чисел C1, C2, ..., C100 удовлетворяют условиям  
Доказать, что среди них можно найти три числа, сумма которых больше 100.

ВверхВниз   Решение


Автор: Нилов Ф.

Центр окружности ω2 лежит на окружности ω1. Из точки X окружности ω1 проведены касательные XP и XQ к окружности ω2 (P и Q – точки касания), которые повторно пересекают ω1 в точках R и S. Докажите, что прямая PQ проходит через середину отрезка RS.

ВверхВниз   Решение


На данной окружности выбраны диаметрально противоположные точки A и B и третья точка C. Касательная, проведённая к окружности в точке A, и прямая BC пересекаются в точке M. Доказать, что касательная, проведённая к окружности в точке C, делит пополам отрезок AM.

ВверхВниз   Решение


Простые числа имеют только два различных делителя – единицу и само это число. А какие числа имеют только три различных делителя?

ВверхВниз   Решение


Дано 25 чисел. Какие бы три из них мы ни выбрали, среди оставшихся найдётся такое четвёртое, что сумма этих четырёх чисел будет положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

ВверхВниз   Решение


Постройте последовательность полиномов, которая получается, если метод Лобачевского (см. задачу 61333) применить для приближенного нахождения корней многочлена  x² – x – 1.  Какие последовательности будут сходиться к корням x1 и x2, если  |x1| > |x2|?

ВверхВниз   Решение


Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре чисел, связанных ребром, одно из них делилось на другое, а во всех других парах такого не было?

ВверхВниз   Решение


Доказать, что для любых чисел  a1, ..., a1987  и положительных чисел  b1,..., b1987  справедливо неравенство

+ ... + .

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 117]      



Задача 110132

Темы:   [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите, что стороны любого неравнобедренного треугольника можно либо все увеличить, либо все уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы получился прямоугольный треугольник.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110201

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Произведение квадратных трёхчленов  x² + a1x + b1x² + a2x + b2,  ...,  x² + anx + bn  равно многочлену  P(x) = x2n + c1x2n–1 + c2x2n–2 + ... + c2n–1x + c2n,  где коэффициенты  c1, c2, ..., c2n  положительны. Докажите, что для некоторого k  (1 ≤ k ≤ n)  коэффициенты ak и bk положительны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110923

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Впишите в клетки квадрата 3×3 числа так, что если в качестве коэффициентов a, b, c  (a ≠ 0)  квадратного уравнения  ax² + bx + c = 0  взять числа из любой строки (слева направо), столбца или диагонали (сверху вниз) квадрата, то у получившегося уравнения будет хотя бы один корень.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61401

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите неравенство:   + ... + .
Значения переменных считаются положительными.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79518

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Доказать, что для любых чисел  a1, ..., a1987  и положительных чисел  b1,..., b1987  справедливо неравенство

+ ... + .

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 117]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .