Версия для печати
Убрать все задачи

---

У равнобедренного треугольника стороны равны 3 и 7. Какая из сторон является основанием?

   Решение

---

Докажите, что из всех хорд, проходящих через точку A, взятую внутри круга и отличную от центра, наименьшей будет та, которая перпендикулярна диаметру, проходящему через точку A.

   Решение

---

Найдите x ³ + y³, если известно, что x + y = 5 и x + y + x²y + xy² = 24.

   Решение

---

На клетчатой бумаге написана таблица, причём в каждой клетке стоит число, равное среднему арифметическому четырёх чисел, стоящих в соседних клетках. Все числа в таблице различны. Докажите, что наибольшее число стоит с края (то есть по крайней мере одна из соседних клеток отсутствует).

   Решение

---

Докажите, что все углы, образованные сторонами и диагоналями правильного n-угольника, кратны  ^180°/_n.

   Решение

---

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна , а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60^o . Найдите площадь сечения, проведённого через вершину пирамиды и меньшую диагональ основания.

   Решение

---

Из шести палочек попарно различной длины сложены два треугольника (по три палочки в каждом). Всегда ли можно сложить из них один треугольник, стороны которого состоят из одной, двух и трех палочек соответственно?

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки постройте точку, из которой данный круг и данный отрезок видны под данными углами.

   Решение

---

Прямоугольная проекция треугольной пирамиды на некоторую плоскость имеет максимально возможную площадь.
Докажите, что эта плоскость параллельна либо одной из граней, либо двум скрещивающимся ребрам пирамиды.

   Решение

---

Пусть  f(x) = x² + px + q.  При каких p и q выполняются равенства  f(p) = f(q) = 0?

   Решение

---

В поселке 20 жительниц. 1 марта одна из них узнала интересную новость и сообщила её всем своим подругам. 2 марта те сообщили новость всем своим подругам, и так далее. Может ли так случиться, что:
  а) 15 марта ещё не все жительницы будут знать новость, а 18 марта уже все?
  б) 25 марта ещё не все жительницы будут знать новость, а 28 марта уже все?

   Решение

---

Хорда AB разбивает окружность S на две дуги. Окружность S₁ касается хорды AB в точке M и одной из дуг в точке N. Докажите, что:
а) прямая MN проходит через середину P второй дуги;
б) длина касательной PQ к окружности S₁ равна PA.

   Решение

---

Дан выпуклый четырехугольник ABCD . A' , B' , C' , D' – ортоцентры треугольников BCD , CDA , DAB , ABC . Докажите, что в четырехугольниках ABCD и A'B'C'D' соответствующие диагонали делятся точками пересечения в одном и том же отношении.

   Решение

---

Прямая l , параллельная диагонали AC1 единичного куба ABCDA1B1C1D1 , равноудалена от прямых BD , A1D1 и CB1 . Найдите расстояния от прямой l до этих прямых.

   Решение

---

Около шара объёма V описана правильная треугольная пирамида. Каков наименьший возможный объём этой пирамиды?

   Решение

---

а)  1 < cos + cos + cos 3/2;
б)  1 < sin(/2) + sin(/2) + sin(/2) 3/2.

   Решение

---

В треугольной пирамиде SABC известны плоские углы при вершине S : BSC = 90^o , ASC = ASB = 60^o . Вершины A , S и середины рёбер SB , SC , AB , AC лежат на поверхности шара радиуса 3. Докажите, что ребро SA является диаметром этого шара, и найдите объём пирамиды.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67010

Темы:   [ Сферы (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Можно ли расположить в пространстве пять сфер так, чтобы для каждой из сфер можно было провести через ее центр касательную плоскость к остальным четырем сферам? Сферы могут пересекаться и не обязаны иметь одинаковый радиус.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 87077

Темы:   [ Сферы (прочее) ] [ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В треугольной пирамиде SABC известны плоские углы при вершине S : BSC = 90^o , ASC = ASB = 60^o . Вершины A , S и середины рёбер SB , SC , AB , AC лежат на поверхности шара радиуса 3. Докажите, что ребро SA является диаметром этого шара, и найдите объём пирамиды.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 87337

Темы:   [ Сферы (прочее) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

На сфере радиуса 11 расположены точки A , A1 , B , B1 , C и C1 . Прямые AA1 , BB1 и CC1 попарно перпендикулярны и пересекаются в точке M , отстоящей от центра сферы на расстояние . Найдите AA1 , если известно, что BB1=18 , а точка M делит отрезок CC1 в отношении (8 + ):(8 - ) .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 87338

Темы:   [ Сферы (прочее) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Отрезки AA1 , BB1 и CC1 , концы которых лежат на сфере радиуса 10, попарно перпендикулярны и пересекаются в точке M . Известно, что AA1=12 , BB1 =18 и CM:MC1=11:3 . Найдите расстояние от центра сферы до точки M,

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 87339

Темы:   [ Сферы (прочее) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Через точку K , расположенную внутри сферы, проведены три попарно перпендикулярные прямые. Первая прямая пересекает сферу в точках A и A1 , вторая – в точках B и B1 , третья – в точках C и C1 , причём AA1=22 , CC1=20 , а точка K делит отрезок BB1 в отношении (9 + ) : (9 -) . Найдите радиус сферы, если известно, что точка K отстоит от центра сферы на расстоянии .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями