Страница:
<< 1 2 3 4 5 6
7 >> [Всего задач: 35]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
а) Внутри сферы находится некоторая точка A. Через A провели три попарно перпендикулярные прямые, которые пересекли сферу в шести точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора такой тройки прямых.
б) Внутри сферы находится икосаэдр, его центр A не обязательно совпадает с центром сферы. Лучи, выпущенные из A в вершины икосаэдра, высекают 12 точек на сфере. Икосаэдр повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 12 новых точек.
Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 12 точек.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 10,11
|
В усеченную треугольную пирамиду вписана сфера, касающаяся оснований в точках $T_1$, $T_2$. Пусть $h$ – высота пирамиды, $R_1$, $R_2$ – радиусы окружностей, описанных около ее оснований, $O_1$, $O_2$ – центры этих окружностей. Докажите, что
$$
R_1R_2h^2=(R_1^2-O_1T_1^2)(R_2^2-O_2T_2^2).
$$
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11
|
Женя красила шарообразное яйцо последовательно в пяти
красках, погружая его в стакан с очередной краской так, чтобы
окрашивалась ровно половина площади поверхности яйца (полсферы).
В результате яйцо окрасилось полностью. Докажите, что одна из красок
была лишней, то есть если бы Женя не использовала эту краску, а в
другие краски погружала бы яйцо так же, то оно всё равно окрасилось бы
полностью.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10
|
Дан тетраэдр ABCD. Точка X выбрана вне тетраэдра так, что отрезок XD пересекает грань ABC во внутренней точке. Обозначим через A', B', C' проекции точки D на плоскости XBC, XCA, XAB соответственно. Докажите, что A'B' + B'C' + C'A' < DA + DB + DC.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
На каждом из 12 рёбер куба отметили его середину. Обязательно ли сфера проходит через все отмеченные точки, если известно, что она проходит
а) через какие-то 6 из отмеченных точек;
б) через какие-то 7 из отмеченных точек?
Страница:
<< 1 2 3 4 5 6
7 >> [Всего задач: 35]
Фильтр
