Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Докажите, что в дереве есть вершина, из которой выходит ровно одно ребро (такая вершина называется висячей).
n бумажных кругов радиуса 1 уложены на плоскость таким образом, что их границы проходят через одну точку, причём эта точка находится внутри области, покрытой кругами. Эта область представляет собой многоугольник с криволинейными сторонами. Найдите его периметр.
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_1, BH_2, CH_3$, которые пересекаются в ортоцентре $H$. Точки $P$ и $Q$ симметричны $H_2$ и $H_3$ относительно $H$. Описанная окружность треугольника $PH_1Q$ пересекает во второй раз высоты $BH_2$ и $CH_3$ в точках $R$ и $S$. Докажите, что $RS$ – средняя линия треугольника $ABC$.
Среди актеров театра Карабаса Барабаса прошёл шахматный турнир. Каждый участник сыграл с каждым из остальных ровно один раз. За победу давали один сольдо, за ничью – полсольдо, за поражение не давалось ничего. Оказалось, что среди каждых трёх участников найдётся шахматист, заработавший в партиях с двумя другими ровно 1,5 сольдо. Какое наибольшее количество актеров могло участвовать в таком турнире?
Фигура «скрипач» бьёт клетку слева по стороне (локтем) и справа вверху по диагонали (смычком), если он правша, и, наоборот, правую клетку по стороне и левую верхнюю по диагонали, если левша (все скрипачи сидят лицом к нам). Посадите как можно больше «скрипачей» в «оркестр» 8×8 клеток, чтобы они не били друг друга. (Вы можете использовать любое количество как правшей, так и левшей.)
На плоскости даны две неконцентрические
окружности S1 и S2. Докажите, что геометрическим местом точек,
для которых степень относительно S1 равна степени
относительно S2, является прямая.
Найдите сумму углов при вершинах самопересекающейся пятиконечной звезды.
Существует ли на плоскости конечный набор различных векторов
,
, ...,
такой, что для любой пары различных векторов из этого набора найдётся такая
другая пара из этого набора, что суммы каждой из пар равны между собой?
На продолжениях сторон DA, AB, BC, CD выпуклого
четырехугольника ABCD взяты точки
A1, B1, C1, D1 так,
что
= 2
,
= 2
,
= 2
и
= 2
. Найдите площадь получившегося
четырехугольника
A1B1C1D1, если известно, что площадь
четырехугольника ABCD равна S.
В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятёрки, третья – четвёрки, половина – тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было таких работ?
Задачи Страница: << 41 42 43 44 45 46 47 >> [Всего задач: 276]
Задача 66150 |
|
|
Существует ли такая бесконечная возрастающая последовательность a1, a2, a3, ... натуральных чисел, что сумма любых двух различных членов последовательности взаимно проста с суммой любых трёх различных членов последовательности?
|
|
Решение |
Задача 109744 |
|
|
Найдите все такие натуральные числа n, что для любых двух его взаимно простых делителей a и b число a + b – 1 также является делителем n.
|
|
|
Решение |
Задача 88183 |
|
|
В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятёрки, третья – четвёрки, половина – тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было таких работ?
|
|
Решение |
Задача 116478 |
|
|
Назовём натуральное семизначное число удачным, если оно делится на произведение всех своих цифр. Существуют ли четыре последовательных удачных числа?
|
|
|
Решение |
Задача 32801 |
|
|
Когда Клайв поступил в математическую школу, ему подарили новые часы, на которых была ещё секундная стрелка.
Сколько раз за сутки все три стрелки на таких часах совпадут?
|
|
|
Решение |
Страница: << 41 42 43 44 45 46 47 >> [Всего задач: 276]
