Страница:
<< 7 8 9 10
11 12 13 >> [Всего задач: 328]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9
|
На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из этих машин может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных машин.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
|
На табло горят несколько лампочек. Имеется несколько кнопок. Нажатие на
кнопку меняет состояние лампочек, с которыми она соединена. Известно, что для
любого набора лампочек найдется кнопка, соединенная с нечетным числом
лампочек из этого набора. Докажите, что, нажимая на кнопки, можно погасить
все лампочки.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
На олимпиаду пришло 2018 участников, некоторые
из них знакомы между собой. Будем говорить, что несколько попарно знакомых участников образуют "кружок", если любой другой участник олимпиады не знаком с кем-то
из них. Докажите, что можно рассадить всех участников
олимпиады по 90 аудиториям так, что ни в какой аудитории не будут сидеть все представители какого-либо "кружка".
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
а) Доказать, что для любых положительных чисел x1, x2, ..., xk (k > 3) выполняется неравенство:
б) Доказать, что это неравенство ни для какого k > 3 нельзя усилить, то есть доказать, что для каждого фиксированного k нельзя заменить двойку в правой части на большее число так, чтобы полученное неравенство было справедливо для любого набора из k положительных чисел.
Докажите неравенство:
|
x1 + ... +
xn| ≤ |
x1| + ... + |
xn|, где
x1,...,
xn — произвольные числа.
Страница:
<< 7 8 9 10
11 12 13 >> [Всего задач: 328]
Фильтр
Решение 
