Каталог по темам

Выбрано 13 задач

ЕГЭ по математике в волшебной стране Оз устроено следующим образом. Каждую работу независимо друг от друга проверяют три преподавателя, и каждый ставит за каждую задачу 0 или 1 балл. Затем компьютер находит среднее арифметическое оценок за эту задачу и округляет его до ближайшего целого. Затем баллы, полученные за все задачи, суммируются. Случилось так, что в одной из работ каждый из трёх экспертов поставил по 1 баллу за 3 задачи и 0 баллов за все прочие задачи. Найдите наибольший возможный суммарный балл за эту работу.

Решение

Автор: Сонкин М.

Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC , касается его сторон AB , BC и AC в точках K , L и M соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники BKL , CLM и AKM проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника ABC . Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.

Решение

Автор: Френкин Б.Р.

В остроугольном треугольнике отметили отличные от вершин точки пересечения описанной окружности с высотами, проведенными из двух вершин, и биссектрисой, проведенной из третьей вершины, после чего сам треугольник стерли. Восстановите его.

Решение

График линейной функции у = kх + k + 1, где k > 0, пересекает оси координат в точках А и В.
Какова наименьшая возможная площадь треугольника АВО (О – начало координат)?

Решение

Дан треугольник ABC и окружность, описанная вокруг него. K — точка пересечения биссектрис внутреннего угла B и внешнего угла C , L — точка пересечения биссектрис внутреннего угла C и внешнего угла B ; M — середина отрезка KL . Докажите, что M — середина дуги BAC .

Решение

Докажите, что если x₁, x₂, x₃ – корни уравнения x³ + px + q = 0, то

Решение

Прямая, соединяющая центр описанной окружности и точку пересечения высот неравнобедренного треугольника, параллельна биссектрисе одного из его углов. Чему равен этот угол?

Решение

Автор: Бакаев Е.В.

На окружности отмечены 10 точек, занумерованные по часовой стрелке: A₁, A₂, ..., A₁₀, причём их можно разбить на пары симметричных относительно центра окружности. Изначально в каждой отмеченной точке сидит по кузнечику. Каждую минуту один из кузнечиков прыгает вдоль окружности через своего соседа так, чтобы расстояние между ними не изменилось. При этом нельзя пролетать над другими кузнечиками и попадать в точку, где уже сидит кузнечик. Через некоторое время оказалось, что какие-то 9 кузнечиков сидят в точках A₁, A₂, ..., A₉, а десятый сидит на дуге A₉A₁₀A₁. Можно ли утверждать, что он сидит именно в точке A₁₀?

Решение

Среднее арифметическое десяти различных натуральных чисел равно 15. Найдите наибольшее значение наибольшего из этих чисел.

Решение

Докажите, что график многочлена
а) x³ + px; б) x³ + px + q; в) ax³ + bx² + cx + d
имеет центр симметрии.

Решение

Пусть a и b – натуральные взаимно простые числа. Рассмотрим точки плоскости с целыми координатами (x, y), лежащие в полосе 0 ≤ x ≤ b – 1. Каждой такой точке припишем целое число N(x, y) = ax + by.
а) Докажите, что для каждого натурального c существует ровно одна точка (x, y) (0 ≤ x ≤ b – 1), для которой N(x, y) = c.
б) Теорема Сильвестра. Докажите, что наибольшее c, для которого уравнение ax + by = c не имеет решений в целых неотрицательных числах, имеет вид
c = ab – a – b.

Решение

Постройте многочлен, корни которого равны квадратам корней многочлена x³ + x² – 2x – 1.

Решение

Автор: Произволов В.В.

Докажите, что для любого натурального n ≥ 2 справедливо неравенство: .

Решение

Задача 98242

Задача 77972

Задача 109812

Задача 98129

Задача 97937