Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1091 1092 1093 1094 1095 1096 1097 >> [Всего задач: 21756]

Задача 58517

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Найти множество точек пересечения всех пар перпендикулярных касательных к гиперболе.

Прислать комментарий Решение

Задача 58518

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Пусть точки A, B, C и D лежат на конике, заданной уравнением второй степени f = 0. Докажите, что

f = $\displaystyle \lambda$ l_ABl_CD + $\displaystyle \mu$ l_BCl_AD,

где $\lambda$ и $\mu$ — некоторые числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58520

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

а) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной конике. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABCDEF, ADEBCF и ADCFEB пересекаются в одной точке (Штейнер).
б) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABFDCE, AEFBDC и ABDFEC пересекаются в одной точке (Киркман).

Прислать комментарий Решение

Задача 58521

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Пусть хорды KL и MN проходят через середину O хорды AB. Докажите, что прямые KN и ML пересекают прямую AB в точках, равноудаленных от точки O.

Прислать комментарий Решение

Задача 58522

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Пусть стороны самопересекающихся четырехугольников KLMN и K'L'M'N', вписанных в одну и ту же окружность, пересекают хорду AB этой окружности в точках P, Q, R, S и P', Q', R', S' соответственно (сторона KL — в точке P, LM — в точке Q, и т. д.). Докажите, что если три из точек P, Q, R, S совпадают с соответственными тремя из точек P', Q', R', S', то и оставшиеся две точки тоже совпадают. (Предполагается, что хорда AB не проходит через вершины четырехугольников.)

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1091 1092 1093 1094 1095 1096 1097 >> [Всего задач: 21756]