Страница:
<< 1245 1246 1247 1248 1249 1250 1251 >> [Всего задач: 21756]
Решить систему уравнений:
x² + y² – 2z² = 2a²,
x + y + 2z = 4(a² + 1),
z² – xy = a².
Решение
(4(a² + 1) – 2z)² = (x + y)² = x² + y² + 2xy = 2z² + 2a² + 2(z² – a²) = 4z², откуда 16(a² + 1)² = 16(a² + 1)z, то есть z = a² + 1. Теперь второе и третье уравнения записываются так:
x + y = 2(a² + 1),
xy = a4 + a² + 1.
Решение этой системы сводится к решению квадратного уравнения t² – 2(a² + 1)t + a4 + a² + 1 = 0; решая его, находим 
Ответ
(a² + a + 1, a² – a + 1, a² + 1), (a² – a + 1, a² + a + 1, a² + 1).
Дана окружность и на ней 3 точки
M,
N,
P, в которых пересекаются
с окружностью (при продолжении) высота, биссектриса и медиана, выходящие из
одной вершины вписанного треугольника. Построить этот треугольник.
Решение
Сначала по точкам
M,
N и
P построим описанную окружность. Пусть
O —
её центр. Прямая
ON параллельна прямой
AM (
A — вершина треугольника
ABC, из которой проведены медиана, биссектриса и высота). Из этого вытекает
следующее построение. Через точку
M проводим прямую, параллельную прямой
ON. Вершина
A — это точка пересечения построенной прямой с описанной
окружностью. Чтобы построить остальные вершины, найдём точку пересечения прямых
AP и
ON; из этой точки восставим перпендикуляр к прямой
ON. Он пересекает
окружность в искомых точках.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
Сколькими различными способами можно разложить натуральное число n на сумму трёх натуральных слагаемых? Два разложения, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными.
Решение
Первый способ. Пусть n = x + y + z. Число x может быть равно 1, 2, 3, ..., n – 2. При фиксированном x число y может принимать одно из
n – x – 1 значений. Всего получаем (n – 2) + (n – 3) + ... + 1 = ½ (n – 1)(n – 2) вариантов.
Второй способ. Запишем
n как сумму единиц:
n = 1 + 1 + ... + 1. Среди
n – 1 знаков плюс мы должны выбрать два: те единицы, что стоят перед первым по порядку выбранным знаком плюс, в сумме дают число
x, а те, что стоят после второго знака плюс, – число
z. Всего получаем
вариантов.
Ответ
½ (n – 1)(n – 2) способами.
Доказать формулы
а) [a, b](a, b) = ab.
б) [a, b, c](a, b)(b, c)(c, a) = (a, b, c)abc.
Решение
а) Первый способ. См. задачу 30371.
Второй способ. Пусть 
Тогда 
Поэтому доказательство можно провести для каждого простого множителя отдельно. Если a = pα, b = pβ, причём α ≤ β, то (a, b) = pα,
[a, b] = pβ и [a, b](a, b) = pαpβ = ab.
б) Достаточно рассмотреть случай, когда a = pα, b = pβ, c = pγ, причём α ≤ β ≤ γ. В этом случае
[a, b, c](a, b)(b, c)(c, a) = pγpαpβpα = pαpαpβpγ = (a, b, c)abc.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
Решить систему:
x + y + z = a,
x² + y² + z² = a²,
x³ + y³ + z³ = a³.
Решение
Из тождества (x + y + z)² – (x² + y² + z²) = 2(xy + yz + xz) находим, что xy + yz + xz = 0. Из тождества
x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – xz) (см. задачу 61005 г) получаем, что xyz = 0. Таким образом, x, y, z – корни кубического уравнения x³ – ax² = 0.
Ответ
{a, 0, 0}.
Страница:
<< 1245 1246 1247 1248 1249 1250 1251 >> [Всего задач: 21756]
Фильтр
