ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]      



Задача 66251

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Поворот и винтовое движение ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
[ Касательные к сферам ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ ГМТ в пространстве (прочее) ]
[ Барицентрические координаты ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A1, B1, C1 и D1 соответственно.
  а) Пусть Pa – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки Pb, Pc и Pd определяются аналогично. Докажите, что прямые A1Pa, B1Pb, C1Pc и D1Pd пересекаются в некоторой точке P.
  б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A1B1C1D1A2 – точка пересечения прямой A1I с плоскостью B1C1D1B2, C2, D2 определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A2B2C2D2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 67199

Темы:   [ Равногранный тетраэдр ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Верно ли, что тетраэдр правильный?
Прислать комментарий     Решение


Задача 109666

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Метод ГМТ в пространстве ]
[ Длины и периметры (геометрические неравенства) ]
Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Карасев Р.

В тетраэдр ABCD , длины всех ребер которого не более 100, можно поместить две непересекающиеся сферы диаметра 1. Докажите, что в него можно поместить одну сферу диаметра 1,01.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78127

Темы:   [ Правильный тетраэдр ]
[ Объем помогает решить задачу ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
Сложность: 4
Классы: 11

Точка G — центр шара, вписанного в правильный тетраэдр ABCD. Прямая OG, соединяющая G с точкой O, лежащей внутри тетраэдра, пересекает плоскости граней в точках A', B', C', D'. Доказать, что

$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$ + $\displaystyle {\frac{OB'}{GB'}}$ + $\displaystyle {\frac{OC'}{GC'}}$ + $\displaystyle {\frac{OD'}{GD'}}$ = 4.

Прислать комментарий     Решение

Задача 67133

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
[ Точка Торричелли ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Дан центрально-симметричный октаэдр $ABCA'B'C'$ (пары $A$ и $A'$, $B$ и $B'$, $C$ и $C'$ противоположны), такой, что суммы плоских углов при каждой из вершин октаэдра равны $240^{\circ}$. В треугольниках $ABC$ и $A'BC$ отмечены точки Торричелли $T_1$ и $T_2$. Докажите, что расстояния от $T_1$ и $T_2$ до $BC$ равны.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .