ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      



Задача 65398

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Параллелограмм Вариньона ]
[ Свойства сечений ]
[ Центр масс ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

У тетраэдра ABCD сумма площадей двух граней (с общим ребром AB) равна сумме площадей оставшихся граней (с общим ребром CD). Докажите, что середины ребер BC, AD, AC и BD лежат в одной плоскости, причём эта плоскость содержит центр сферы, вписанной в тетраэдр ABCD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109257

Темы:   [ Объем помогает решить задачу ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

В треугольной пирамиде ABCD грани ABC и ABD имеют площади p и q и образуют между собой угол α . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB и центр вписанного в пирамиду шара.
Прислать комментарий     Решение


Задача 110309

Темы:   [ Равногранный тетраэдр ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Сфера, описанная около тетраэдра ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Два противоположных ребра треугольной пирамиды равны a , два других противоположных ребра равны b , два оставшихся ребра равны c . Найдите радиусы описанной и вписанной сфер. Докажите, что их центры совпадают.
Прислать комментарий     Решение


Задача 110496

Темы:   [ Правильная пирамида ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

В правильную треугольную пирамиду SABC с основанием ABC вписан шар, к нему проведена касательная плоскость, параллельная грани ASC . Эта плоскость пересекает ребро SB в точке M , причём BM:MS=1,55 . Найдите косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66251

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Поворот и винтовое движение ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
[ Касательные к сферам ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ ГМТ в пространстве (прочее) ]
[ Барицентрические координаты ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A1, B1, C1 и D1 соответственно.
  а) Пусть Pa – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки Pb, Pc и Pd определяются аналогично. Докажите, что прямые A1Pa, B1Pb, C1Pc и D1Pd пересекаются в некоторой точке P.
  б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A1B1C1D1A2 – точка пересечения прямой A1I с плоскостью B1C1D1B2, C2, D2 определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A2B2C2D2.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .