Страница: << 67 68 69 70 71 72 73 >> [Всего задач: 604]      

Саша написал на доске ненулевую цифру и приписывает к ней справа по одной ненулевой цифре, пока не выпишет миллион цифр. Докажите, что на доске не более 100 раз был написан точный квадрат.

Прислать комментарий

Решение

Расстоянием между числами  a₁a₂a₃a₄a₅  и  b₁b₂b₃b₄b₅  назовём максимальное i, для которого  a_i ≠ b_i.  Все пятизначные числа выписаны друг за другом в некотором порядке. Какова при этом минимально возможная сумма расстояний между соседними числами?

Прислать комментарий

Решение

Фокусник с помощником собираются показать такой фокус. Зритель пишет на доске последовательность из N цифр. Помощник фокусника закрывает две соседних цифры чёрным кружком. Затем входит фокусник. Его задача – отгадать обе закрытые цифры (и порядок, в котором они расположены). При каком наименьшем N фокусник может договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?

Прислать комментарий

Решение

  Обозначим через S(k) сумму цифр натурального числа k. Натуральное число a назовём n-хорошим, если существует такая последовательность натуральных чисел a₀, a₁, ..., a_n, что  a_n = a  и  a_i+1 = a_i – S(a_i)  при всех  i = 0, 1, ..., n – 1.  Верно ли, что для любого натурального n существует натуральное число, являющееся n-хорошим, но не являющееся (n+1)-хорошим?

Прислать комментарий

Решение

Назовём тройку чисел триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Последовательность $(a_n)$ строится следующим образом: $a_0 = 0$, $a_1 = 1$ и при $n > 1$ число $a_n$ — такое минимальное натуральное число, большее $a_{n-1}$, что среди чисел $a_0$, $a_1$, ..., $a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_{2023} \leqslant 100\,000$.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 67 68 69 70 71 72 73 >> [Всего задач: 604]