Версия для печати
Убрать все задачи

---

В королевстве восемь городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в любой другой, минуя не более одного промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более k дорог. При каких k это возможно?

   Решение

---

На доске написаны 10 единиц и 10 двоек. За ход разрешается стереть две любые цифры и, если они были одинаковыми, написать двойку, а если разными – единицу. Если последняя оставшаяся на доске цифра – единица, то выиграл первый игрок, если двойка – то второй.

   Решение

---

Три человека A, B, C пересчитали кучу шариков четырёх цветов (см. таблицу).

При этом каждый из них правильно различал какие-то два цвета, а два других мог путать: один путал красный и оранжевый, другой – оранжевый и жёлтый, а третий – жёлтый и зелёный. Результаты их подсчётов приведены в таблице. Сколько каких шариков было на самом деле?

   Решение

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 171]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110061

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Докажите, что в любом множестве, состоящем из 117 попарно различных трёхзначных чисел, можно выбрать четыре попарно непересекающихся подмножества, суммы чисел в которых равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116699

Темы:   [ Степень вершины ] [ Сочетания и размещения ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 11

На собрание пришло n человек  (n > 1).  Оказалось, что у каждых двух из них среди собравшихся есть ровно двое общих знакомых.
  а) Докажите, что каждый из них знаком с одинаковым числом людей на этом собрании.
  б) Покажите, что n может быть больше 4.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64731

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

У повара в подчинении десять поварят, некоторые из которых дружат между собой. Каждый рабочий день повар назначает одного или нескольких поварят на дежурство, а каждый из дежурных поварят уносит с работы по одному пирожному каждому своему недежурящему другу. В конце дня повар узнает количество пропавших пирожных. Сможет ли он за 45 рабочих дней понять, кто из поварят дружит между собой, а кто нет?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65292

Темы:   [ Дискретное распределение ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

В здании n этажей и две лестницы, идущие от первого до последнего этажа. На каждой лестнице между каждыми двумя этажами на промежуточной лестничной площадке есть дверь, разделяющая этажи (с лестницы на этаж пройти можно, даже если дверь заперта). Комендант решил, что слишком много открытых дверей – это плохо, и запер ровно половину дверей, выбрав двери случайным образом. Какова вероятность того, что можно подняться с первого этажа на последний, проходя только через открытые двери?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111039

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Дано 101-элементное подмножество A множества  S = {1, 2, ..., 1000000}.
Докажите, что для некоторых  t₁, ..., t₁₀₀  из S множества   A_j = {x + t_j | x ∈ A;  j = 1, ..., 100}   попарно не пересекаются.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 171]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями