Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 62]
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
Сколькими различными способами можно разложить натуральное число n на сумму трёх натуральных слагаемых? Два разложения, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными.
Сколькими способами можно представить 1000000 в виде произведения трёх множителей, если произведения, отличающиеся порядком множителей,
а) считаются различными?
б) считаются тождественными?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Докажите, что 
тогда и только тогда, когда β можно получить из α проделав несколько (может быть один раз или ни одного) операции вида
(k, j, i) ↔ (k – 1, j + 1, i), (k, j, i) ↔ (k – 1, j, i + 1), (k, j, i) ↔ (k, j – 1, i + 1).
(Эти операции можно представлять себе как сбрасывание одного кирпича вниз на диаграмме Юнга. Про диаграммы Юнга смотри здесь.)
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Пусть p(n) – количество разбиений числа n
(определение разбиений смотри здесь). Докажите равенства:
p(0) + p(1)x + p(2)x '' + ... = (1 + x + x² + ...)...(1 + xk + x2k + ...)... = (1 – x)–1(1 – x²)–1(1 – x³)–1...
(По определению считается, что
p(0) = 1.)
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Обозначим через d(n) количество разбиений числа n на различные слагаемые, а через l(n) – на нечётные. Докажите равенства:
а) d(0) + d(1)x + d(2)x² + ... = (1 + x)(1 + x²)(1 + x³)...;
б) l(0) + l(1)x + l(2)x² + ... = (1 – x)–1(1 – x³)–1(1 – x5)–1...;
в) d(n) = l(n) (n = 0, 1, 2, ...).
(Считается по определению, что d(0) = l(0) = 1.)
Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 62]
Фильтр
