Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 >> [Всего задач: 418]      

Петя приобрёл в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может по любым действительным числам x и y вычислить  xy + x + y + 1  и не имеет других операций. Петя хочет написать "программу" для вычисления многочлена  1 + x + x² + ... + x¹⁹⁸².  Под "программой" он понимает такую последовательность многочленов  f₁(x), ..., f_n(x),  что  f₁(x) = x  и для любого  i = 2, ..., n   f_i(x) – константа или
f_i(x) = f_j(x)·f_k(x) + f_k(x) + f_j(x) + 1,  где  j < i,  k < i,  причём  f_n(x) = 1 + x + ... + x¹⁹⁸².
  а) Помогите Пете написать "программу".
  б) Можно ли написать "программу", если калькулятор имеет только одну операцию  xy + x + y?

Прислать комментарий

Решение

  а) x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ – положительные числа. Докажите, что квадрат суммы этих чисел не меньше учетверённой суммы произведений x₁x₂, x₂x₃, x₃x₄, x₄x₅ и x₅x₁.
  б) При каком наибольшем c_n для любых неотрицательных x₁, ..., x_n верно неравенство  (x₁ + x₂ + ... + x_n)² ≥ c_n(x₁x₂ + x₂x₃ + ... + x_nx₁)
(в правой части n слагаемых)?

Прислать комментарий

Решение

Натуральные числа x и y таковы, что  2x² – 1 = y¹⁵.  Докажите, что если  x > 1,  то x делится на 5.

Прислать комментарий

Решение

На оси Ox произвольно расположены различные точки  X₁, ..., X_n,  n ≥ 3.  Построены все параболы, задаваемые приведёнными квадратными трёхчленами и пересекающие ось Ox в данных точках (и не пересекающие ееё в других точках). Пусть  y = f₁(x),  ...,  y = f_m(x)  – соответствующие параболы. Докажите, что парабола  y = f₁(x) + ... + f_m(x)  пересекает ось Ox в двух точках.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если натуральное число N представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, делящихся на 3, то оно также представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, не делящихся на 3.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 >> [Всего задач: 418]