ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 [Всего задач: 100]      



Задача 66857

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Последовательности (прочее) ]
[ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Глеб задумал натуральные числа $N$ и $a$, где  $a < N$ . Число $a$ он написал на доске. Затем Глеб стал проделывать такую операцию: делить $N$ с остатком на последнее выписанное на доску число и полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число 0, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие $N$ и $a$, чтобы сумма выписанных на доске чисел была больше 100$N$?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116700

Темы:   [ Геометрическая прогрессия ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
Сложность: 4+
Классы: 11

Для  n = 1, 2, 3  будем называть числом n-го типа любое число, которое либо равно 0, либо входит в бесконечную геометрическую прогрессию
1,  (n + 2),  (n + 2)²,  ..., либо является суммой нескольких различных её членов. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы числа первого типа, числа второго типа и числа третьего типа.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98252

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Разложение на множители ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что число 40...09 – не полный квадрат (при любом числе нулей, начиная с 1).

Прислать комментарий     Решение

Задача 98263

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Разложение на множители ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что число вида a0...09 – не полный квадрат (при любом числе нулей, начиная с одного; a – цифра, отличная от 0).

 
Прислать комментарий     Решение

Задача 66202

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Итерации ]
[ Двоичная система счисления ]
[ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Дано иррациональное число α,  0 < α < ½.  По нему определяется новое число α1 как меньшее из двух чисел 2α и  1 – 2α.  По этому числу аналогично определяется α2, и так далее.
  а) Докажите, что  αn < 3/16  для некоторого n .
  б) Может ли случиться, что  αn > 7/40  при всех натуральных n?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 [Всего задач: 100]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .