Страница:
<< 50 51 52 53
54 55 56 >> [Всего задач: 425]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8,9
|
Каждая точка числовой оси, координата которой – целое число, покрашена либо в красный, либо в синий цвет. Доказать, что найдётся цвет со следующим
свойством: для каждого натурального числа k имеется бесконечно много точек
этого цвета, координаты которых делятся на k.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Корни уравнения x² + ax + 1 = b – целые, отличные от нуля числа. Докажите, что число a² + b² является составным.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Первоначально на доске написано натуральное число A. Разрешается прибавить к нему один из его делителей, отличных от него самого и единицы. С полученным числом разрешается проделать аналогичную операцию, и т. д. Докажите, что из числа A = 4 можно с помощью таких операций прийти к любому наперёд заданному составному числу.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Существует ли такой набор из 10 натуральных чисел, что каждое не делится ни
на одно из остальных, а квадрат каждого делится на каждое из остальных?
Несколько последовательных натуральных чисел выписали в строку в таком порядке,
что сумма каждых трёх подряд идущих чисел делится на самое левое число
этой тройки. Какое максимальное количество чисел могло быть выписано, если
последнее число строки нёчётно?
Страница:
<< 50 51 52 53
54 55 56 >> [Всего задач: 425]
Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Теория чисел. Делимость
>>
Делимость чисел. Общие свойства
