ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]      



Задача 61052

Тема:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Пусть  x1 < x2 < ... < xn  – действительные числа. Докажите, что для любых  y1, y2, ..., yn  существует единственнный многочлен  f(x) степени не выше  n – 1,  такой, что  f(x1) = y1, ...,  f(xn) = yn.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61061

Тема:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Про многочлен   f(x) = x10 + a9x9 + ... + a0  известно, что   f(1) = f(–1),  ...,   f(5) = f(–5).  Докажите, что   f(x) = f(– x)  для любого действительного x.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64356

Темы:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Петя и Вася придумали десять многочленов пятой степени. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из многочленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке). Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65751

Темы:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Дан кубический многочлен  f(x). Назовём циклом такую тройку различных чисел  (a, b, c),  что  f(a) = b,  f(b) = c  и  f(c) = a.  Известно, что нашлись восемь циклов  (ai, bi, ci),  i = 1, 2, ..., 8,  в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида  ai + bi + ci  есть хотя бы три различных.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111694

Темы:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Центральная симметрия (прочее) ]
[ Монотонность и ограниченность ]
[ Свойства коэффициентов многочлена ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Многочлен P(x) с действительными коэффициентами таков, что уравнение  P(m) + P(n) = 0  имеет бесконечно много решений в целых числах m и n.
Докажите, что у графика  y = P(x)  есть центр симметрии.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .