Страница:
<< 97 98 99 100
101 102 103 >> [Всего задач: 2468]
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
|
Даны числа: 4, 14, 24, ..., 94, 104. Докажите, что из них нельзя вычеркнуть
сперва одно число, затем из оставшихся ещё два, затем ещё три и, наконец, ещё
четыре числа так, чтобы после каждого вычёркивания сумма оставшихся чисел
делилась на 11.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что если p и q – два простых числа, причём q = p + 2, то pq + qp делится на p + q.
Даны два натуральных числа m и n. Выписываются все различные
делители числа m – числа a, b, ..., k – и все различные делители числа n – числа s, t, ..., z. (Само число и 1 тоже включаются в число делителей.) Оказалось, что a + b + ... + k = s + t + ... + z и 1/a + 1/b + ... + 1/k = 1/s + 1/t + ... + 1/z.
Доказать, что m = n.
Можно ли разбить числа 1, 2, 3, ..., 33 на 11 групп, по три числа в каждой,
так, чтобы в каждой группе одно из чисел равнялось сумме двух других?
Рассматриваются решения уравнения 1/x + 1/y = 1/p (p > 1), где x, y и p – натуральные числа. Докажите, что если p – простое число, то уравнение имеет ровно три решения; если p – составное, то решений больше трёх ((a, b) и (b, a) – различные решения, если a ≠ b).
Страница:
<< 97 98 99 100
101 102 103 >> [Всего задач: 2468]
Фильтр
