Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что диагональ AC₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ проходит через точки пересечения медиан треугольников A₁BD и CB₁D₁ и делится ими на три равные части.

   Решение

---

Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Какую наименьшую площадь может иметь этот четырехугольник, если площадь треугольника AOB равна 4, а площадь треугольника COD равна 9?

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 188]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60559

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Произведения и факториалы ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Существует ли такое целое число r, что    является целым числом при любом n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64353

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Произведения и факториалы ] [ Малая теорема Ферма ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Найдите все такие натуральные k, что произведение первых k простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей чем первая).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64361

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Произведения и факториалы ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Малая теорема Ферма ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Найдите все такие натуральные k, что произведение первых k нечётных простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей, чем первая).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78613

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Производящие функции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Из первых k простых чисел  2, 3, 5, ..., p_k  (k > 5)  составлены всевозможные произведения, в которые каждое из чисел входит не более одного раза (например,  3·5, 3·7·... ·p_k, 11  и т. д.). Обозначим сумму всех таких чисел через S. Доказать, что  S + 1  разлагается в произведение более 2k простых сомножителей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78682

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Разложение на множители ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Известно, что  aⁿ – bⁿ  делится на n (a, b, n – натуральные числа,  a ≠ b).  Доказать, что делится на n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 188]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями