Каталог по темам

Задачи

Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 234]

Задача 60601

Темы:	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть a₀ – целое, a₁, ..., a_n – натуральные числа. Определим две последовательности
P_–1 = 1, P₀ = a₀, P_k = a_kP_k–1 + P_k–2 (1 ≤ k ≤ n); Q_–1 = 0, Q₀ = 1, Q_k = a_kQ_k–1 + Q_k–2 (1 ≤ k ≤ n).
Дроби ^P_k/_{Q_k} называются подходящими дробями к числу [a₀; a₁, a₂, ..., a_n].
Докажите, что построенные последовательности для k = 0, 1, ..., n обладают следующими свойствами:
а) ^P_k/_{Q_k} = [a₀; a₁, a₂,..., a_k];
б) P_kQ_k–1 – P_k–1Q_k = (–1)^k+1;
в) (P_k, Q_k) = 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61029

Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что многочлен P(x) = (xⁿ⁺¹ – 1)(xⁿ⁺² – 1)...(x^n+m – 1) делится на Q(x) = (x – 1)(x² – 1)...(x^m – 1).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61106

Темы:	[	Многочлены Чебышева	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Уравнения высших степеней (прочее)	]
	[	Тригонометрические уравнения	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Последовательность многочленов P₀(x) = 1, P₁(x) = x, P₂(x) = x² – 1, ... задается условием P_n+1(x) = xP_n(x) – P_n–1(x).
Докажите, что уравнение P₁₀₀(x) = 0 имеет 100 различных действительных корней на отрезке [–2, 2]. Что это за корни?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61313

Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Последовательность чисел {a_n} задана условиями

a₁ = 1, a_{n + 1} = $\displaystyle {\dfrac{3a_n}{4}}$ + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n}}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Докажите, что
а) последовательность {a_n} ограничена;
б) | a₁₀₀₀ - 2| < $\left(\vphantom{\dfrac{3}{4}}\right.$ ${\dfrac{3}{4}}$ $\left.\vphantom{\dfrac{3}{4}}\right)^{1000}_{}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61315

Темы:	[	Итерации	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Теоремы о среднем значении	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Сходимость итерационного процесса. Предположим, что функция f (x) отображает отрезок [a;b] в себя, и на этом отрезке | f'(x)| $\leqslant$ q < 1. Докажите, что уравнение f (x) = x имеет на отрезке [a;b] единственный корень x*. Докажите, что при решении этого уравнения методом итераций будут выполняться неравенства:

| x_{n + 1} - x_n| $\displaystyle \leqslant$ | x₁ - x₀|^.qⁿ, | x* - x_n| $\displaystyle \leqslant$ | x₁ - x₀|^. $\displaystyle {\frac{q^n}{1-q}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 234]