Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 234]      

Рассмотрим все возможные наборы чисел из множества  {1, 2, 3, ..., n},  не содержащие двух соседних чисел.
Докажите, что сумма квадратов произведений чисел в этих наборах равна  (n + 1)! – 1.

Прислать комментарий

Решение

По данному натуральному числу a₀ строится последовательность {a_n} следующим образом     если a_n нечётно, и ^a₀/₂, если a_n чётно. Докажите, что при любом нечётном  a₀ > 5  в последовательности {a_n} встретятся сколь угодно большие числа.

Прислать комментарий

Решение

На окружности даны 10 точек. Сколькими способами можно провести пять отрезков, не имеющих общих точек, с концами в данных точках?

Прислать комментарий

Решение

Числовая последовательность  A₁, A₂, ..., A_n, ...  определена равенствами   A₁ = 1,   A₂ = – 1,   A_n = – A_n–1 – 2A_n–2   (n ≥ 3).
Докажите, что при любом натуральном n число     является полным квадратом.

Прислать комментарий

Решение

  Пусть a₀ – целое, a₁, ..., a_n – натуральные числа. Определим две последовательности
P_–1 = 1,  P₀ = a₀,  P_k = a_kP_k–1 + P_k–2  (1 ≤ k ≤ n);   Q_–1 = 0,  Q₀ = 1,  Q_k = a_kQ_k–1 + Q_k–2  (1 ≤ k ≤ n).
  Дроби ^P_k/_Qk называются подходящими дробями к числу  [a₀; a₁, a₂, ..., a_n].
  Докажите, что построенные последовательности для k = 0, 1, ..., n обладают следующими свойствами:
    а)  ^P_k/_Qk = [a₀; a₁, a₂,..., a_k];
    б)  P_kQ_k–1 – P_k–1Q_k = (–1)^k+1;
    в)   (P_k, Q_k) = 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 234]