Страница:
<< 34 35 36 37
38 39 40 >> [Всего задач: 233]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Решите в целых числах уравнения: а) x² – xy – y² = 1; б) x² – xy – y² = –1.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
За круглым столом сидят десять человек, перед каждым – несколько орехов.
Всего орехов – сто. По общему сигналу каждый передаёт часть своих орехов соседу справа: половину, если у него (у того, кто передаёт) было чётное число, или один орех плюс половину остатка – если нечётное число. Такая операция проделывается второй раз, затем третий и так далее, до бесконечности. Докажите, что через некоторое время у всех станет по десять орехов.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
|
В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины – его сын, а справа – его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если известно, что все десять мужчин, стоящих в центре, различны?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Докажите, что при всех натуральных
n
выполняется сравнение
[(1 +
)
n]
n(mod 2).
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Перед Алёшей 100 закрытых коробочек, в каждой – либо красный, либо синий кубик. У Алёши на счету есть рубль. Он подходит к любой закрытой коробочке, объявляет цвет и ставит любую сумму (можно нецелое число копеек, но не больше, чем у него на счету в данный момент). Коробочка открывается, и Алёшин счет увеличивается или уменьшается на поставленную сумму в зависимости от того, угадан или не угадан цвет кубика. Игра продолжается, пока не будут открыты все все коробочки. Какую наибольшую сумму на счету может гарантировать себе Алёша, если ему известно, что
a) синий кубик только один;
б) синих кубиков ровно n.
(Алёша может поставить и 0, то есть просто бесплатно открыть коробочку и увидеть цвет кубика.)
Страница:
<< 34 35 36 37
38 39 40 >> [Всего задач: 233]
Фильтр
