Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 593]      

Дана невозрастающая последовательность чисел   ¹/_2k = a₁ ≥ a₂ ≥ ... ≥ a_n ≥ ... > 0,  a₁ + a₂ + ... + a_n + ... = 1.
Доказать, что найдутся k чисел, из которых самое маленькое больше половины самого большого.

Прислать комментарий

Решение

Даны сто чисел x₁, x₂,..., x₁₀₀, сумма которых равна 1. При этом абсолютные величины разностей  x_k+1 – x_k  меньше ¹/₅₀ каждая.
Доказать, что из них можно выбрать 50 чисел так, чтобы сумма выбранных отличалась от половины не больше, чем на одну сотую.

Прислать комментарий

Решение

Дано 8 действительных чисел: a, b, c, d, e, f, g, h. Доказать, что хотя бы одно из шести чисел  ac + bd,  ae + bf,  ag + bh,  ce + df,  cg + dh,  eg + fh  неотрицательно.

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что для любых чисел  a₁, ..., a₁₉₈₇  и положительных чисел  b₁,..., b₁₉₈₇  справедливо неравенство

≤ + ... + .

Прислать комментарий

Решение

Пусть P(x) – квадратный трёхчлен с неотрицательными коэффициентами.
Докажите, что для любых действительных чисел x и y справедливо неравенство  (P(xy))² ≤ P(x²)P(y²).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 593]