Страница: << 50 51 52 53 54 55 56 >> [Всего задач: 593]      

Докажите неравенства:
  а)   n(x₁ + ... + x_n) ≥ ( + ... + )²
  б)   ≤ + ... + ;
  в)  

  г)     (неравенство Минковского).
  Значения переменных считаются положительными.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если  α < β,   то  S_α(x) ≤ S_β(x),  причём равенство возможно только когда  x₁ = x₂ = ... = x_n.
Определение средних степенных S_α(x) можно посмотреть в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

Выведите из неравенства Мюрхеда (задача 61424) неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Прислать комментарий

Решение

Докажите следующие неравенства непосредственно и при помощи неравенства Мюрхеда (задача 61424):
  а)  x⁴y²z + y⁴x²z + y⁴z²x + z⁴y²x + x⁴z²y + z⁴x²y ≥ 2(x³y²z² + x²y³z² + x²y²z³);
  б)  x⁵ + y⁵ + z⁵ ≥ x²y²z + x²yz² + xy²z²;
  в)  x³ + y³ + z³ + t³ ≥ xyz + xyt + xzt + yxt.
Значения переменных считаются положительными.

Прислать комментарий

Решение

Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины равна сумме моментов гирь слева; иначе отклонятся в сторону, где сумма больше. Моментом гири называется произведение ms массы гири m на расстояние s он нее до середины отрезка.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 50 51 52 53 54 55 56 >> [Всего задач: 593]