Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 258]
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
Пусть x1≤⋯≤xn. Докажите неравенство (n∑i,j=1|xi−xj|)2≤2(n2−1)3n∑i,j=1(xi−xj)2.
Докажите, что оно обращается в равенство только если числа x1,…,xn образуют арифметическую прогрессию.
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10,11
|
Пусть a, b и c – длины сторон треугольника площади S; α1, β1 и γ1 – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что
a² ctg α1 + b² ctg β1 + c² ctg γ1 ≥ 4S, причём равенство достигается, только когда рассматриваемые треугольники подобны.
|
|
Сложность: 5- Классы: 10,11
|
Докажите, что если α < β и αβ ≠ 0, то Sα(x) ≤ Sβ(x).
Определение средних степенных Sα(x) можно посмотреть в справочнике.
|
|
Сложность: 5- Классы: 8,9,10
|
Найдите все такие пары (x, y) натуральных чисел, что x + y = an, x² + y² = am для некоторых натуральных a, n, m.
|
|
Сложность: 5 Классы: 10,11
|
В выпуклом многограннике обозначим через B, P и T соответственно число вершин, рёбер и максимальное число треугольных граней, которые имеют общую вершину. Докажите, что {В√Р+Т⩾}.
Например, для тетраэдра (\text{В}=4, \text{Р}=6, \text{Т}=3) выполняется равенство,
а для треугольной призмы (\text{В}=6, \text{Р}=9, \text{Т}=1) или куба (\text{В}=8, \text{Р}=12, \text{Т}=0) имеет место строгое неравенство.
Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 258]