Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 258]      

Пусть  $x_1 \le \dots \le x_n$.  Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$ Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.

Прислать комментарий

Решение

Пусть a, b и c – длины сторон треугольника площади S; α₁, β₁ и γ₁ – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что
a² ctg α₁ + b² ctg β₁ + c² ctg γ₁ ≥ 4S,  причём равенство достигается, только когда рассматриваемые треугольники подобны.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если  α < β  и  αβ ≠ 0,   то  S_α(x) ≤ S_β(x).
Определение средних степенных S_α(x) можно посмотреть в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

Найдите все такие пары  (x, y)  натуральных чисел, что  x + y = aⁿ,  x² + y² = a^m  для некоторых натуральных a, n, m.

Прислать комментарий

Решение

В выпуклом многограннике обозначим через B, P и T соответственно число вершин, рёбер и максимальное число треугольных граней, которые имеют общую вершину. Докажите, что {$\text{В}\sqrt{\text{Р}+\text{Т}}\geqslant 2\text{Р}$}.

Например, для тетраэдра ($\text{В}=4$, $\text{Р}=6$, $\text{Т}=3$) выполняется равенство, а для треугольной призмы ($\text{В}=6$, $\text{Р}=9$, $\text{Т}=1$) или куба ($\text{В}=8$, $\text{Р}=12$, $\text{Т}=0$) имеет место строгое неравенство.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 258]