Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Многочлены
>>
Квадратный трехчлен
>>
Квадратные уравнения. Теорема Виета
Фильтр
Задачи
Задача 105176 |
|
|
У квадратного уравнения x² + px + q = 0 коэффициенты p и q увеличили на единицу. Эту операцию повторили девять раз.
Могло ли оказаться, что у каждого из десяти полученных уравнений корни – целые числа?
Решение
Например, годится уравнение x² + 3x + 2 = 0. Действительно, корнями уравнения x² + (q + 1)x + q = 0 являются числа –1 и –q.
Ответ
Могло.
|
|
Задача 105209 |
|
|
Один из двух приведённых квадратных трёхчленов имеет два корня, меньших 1000, другой – два корня, больших 1000. Может ли сумма этих трёхчленов иметь один корень меньший 1000, а другой – больший 1000?
Решение
Из условия следует, что каждый из этих трёхчленов при x = 1000 принимает положительное значение. Следовательно, и их сумма f в этой точке положительна. График трёхчлена f также располагается ветвями вверх. Пусть один из его корней больше 1000, а другой – меньше 1000. Тогда число 1000 располагается между корнями, то есть f(1000) < 0 . Противоречие.
Ответ
Не может.
|
|
|
Задача 109676 |
|
|
Угол, образованный лучами y = x и y = 2x при x ≥ 0, высекает на параболе y = x² + px + q две дуги. Эти дуги спроектированы на ось Ox. Докажите, что проекция левой дуги на 1 короче проекции правой.
Решение
Абсциссы x1 и x2 точек пересечения параболы и прямой y = x удовлетворяют уравнению x² + (p – 1)x + q = 0. По теореме Виета
x1 + x2 = 1 – p. Аналогично получаем, что абсциссы x3 и x4 точек пересечения параболы и прямой y = 2x связаны соотношением x3 + x4 = 2 – p. Если x1 < x2, а
x3 < x4, то проекция левой дуги равна x1 – x3, а правой – x4 – x2 (см. рис.). Разность их равна
(x4 – x2) – (x1 – x3) = (x3 + x4) – (x1 + x2) = (2 – p) – (1 – p) = 1.
|
|
|
Задача 109892 |
|
|
Найдите все такие пары квадратных трёхчленов x² + ax + b, x² + cx + d, что a и b – корни второго трёхчлена, c и d – корни первого.
Решение
По теореме Виета a = – (c + d), b = cd, c = – (a + b), d = ab. Отсюда a + b + c = a + c + d = 0, b = cd, d = ab. Следовательно, b = d = bc = ab.
Если b = 0, то d = 0, c = – a. Если же b ≠ 0, то a = c = 1, b = d = –2.
Ответ
x² + ax, x² – ax (a – любое число); x² + x – 2, x² + x – 2.
|
|
|
Задача 109954 |
|
|
Корни двух приведённых квадратных трёхчленов – отрицательные целые числа, причём один из этих корней – общий.
Могут ли значения этих трёхчленов в некоторой положительной целой точке равняться 19 и 98?
Решение
Пусть x1 – общий корень рассматриваемых трёхчленов, а x2 и x3 – два других (различных) корня. Тогда один из трёхчленов равен (x – x1)(x – x2), а другой – (x – x1)(x – 3).
Допустим, при каком-то натуральном n выполнены равенства (n – x1)(n – x2) = 19 и (n – x1)(n – x3) = 98. Тогда целое число n – x1 должно быть общим делителем взаимно простых чисел 19 и 98 и, значит, должно равняться 1 или –1. Но в обоих случаях x1 ≥ n – 1 ≥ 0, что противоречит условию.
Ответ
Не могут.
|
|
|
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 80]
