Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 119]      

Васе задали на дом уравнение  x² + p₁x + q₁ = 0,  где p₁ и q₁ – целые числа. Он нашел его корни p₂ и q₂ и написал новое уравнение  x² + p₂x + q₂ = 0.  Повторив операцию еще трижды, Вася заметил, что он решал четыре квадратных уравнения и каждое имело два различных целых корня (если из двух возможных уравнений два различных корня имело ровно одно, то Вася всегда выбирал его, а если оба – любое). Однако, как ни старался Вася, у него не получилось составить пятое уравнение так, чтобы оно имело два различных вещественных корня, и Вася сильно расстроился. Какое уравнение Васе задали на дом?

Прислать комментарий

Решение

Даны уравнения  ax² + bx + c = 0   (1)    и – ax² + bx + c   (2).     Доказать, что если x₁ и x₂ – соответственно какие-либо корни уравнений (1) и (2), то найдётся такой корень x₃ уравнения  ½ ax² + bx + c,  что либо  x₁ ≤ x₃ ≤ x₂,  либо  x₁ ≥ x₃ ≥ x₂.

Прислать комментарий

Решение

Все значения квадратного трёхчлена  ax² + bx + c  на отрезке  [0, 1]  по модулю не превосходят 1.
Какое наибольшее значение при этом может иметь величина  |a| + |b| + |c|?

Прислать комментарий

Решение

x₁ – вещественный корень уравнения  x² + ax + b = 0,  x₂ – вещественный корень уравнения  x² – ax – b = 0.
Доказать, что уравнение  x² + 2ax + 2b = 0  имеет вещественный корень, заключённый между x₁ и x₂.  (a и b – вещественные числа).

Прислать комментарий

Решение

Внутри параболы  y = x²  расположены несовпадающие окружности ω₁, ω₂, ω₃, ... так, что при каждом n > 1 окружность ω_n касается ветвей параболы и внешним образом окружности ω_n–1 (см. рис.). Найдите радиус окружности σ₁₉₉₈, если известно, что диаметр ω₁ равен 1 и она касается параболы в её вершине.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 119]