Страница: 1
2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 96]
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 6,7,8
|
Солдаты построены в две шеренги по n человек, так что каждый солдат из первой шеренги не выше стоящего за ним солдата из второй шеренги. В шеренгах солдат выстроили по росту. Докажите, что после этого каждый солдат из первой шеренги также будет не выше стоящего за ним солдата из второй шеренги.
Решение
Обозначим через a1, a2, ..., an рост солдат первой шеренги в порядке убывания, а через b1, b2, ..., bn рост солдат второй шеренги в порядке убывания (те же обозначения используем и для самих солдат). Пусть утверждение задачи неверно: ak > bk для некоторого k. Это означает, что до перестраивания по росту солдат ak мог стоять только перед одним из k – 1 солдат b1, b2, ..., bk–1. То же справедливо и для солдат a1, a2, ..., ak–1, поскольку они не ниже солдата ak. Итак, до перестраивания шеренг k солдат a1, a2, ..., ak могли стоять только перед k – 1 солдатами b1, b2, ..., bk–1. Противоречие.
Давным-давно страной Тарнией правил царь Ятианр. Чтобы тарнийцы поменьше рассуждали, он придумал для них простой язык. Его алфавит состоял всего из шести
букв: А, И, Н, Р, Т, Я, но порядок их отличался от принятого в русском языке. Словами этого языка были все последовательности, использующие каждую из этих букв по одному разу. Ятианр издал полный словарь нового языка. В соответствии с алфавитом первым словом словаря оказалось "Тарния". Какое слово следовало в словаре за именем Ятианр?
Решение
В первом слове буквы расположены в алфавитном порядке: Т, А, Р, Н, И, Я. Для удобства занумеруем буквы в алфавитном порядке: Т = 1, А = 2, Р = 3,
Н = 4, И = 5, Я = 6. Заменим каждое слово соответствующим шестизначным числом. Если слова расположены по алфавиту, то числа – в порядке возрастания. Слово Ятианр запишется числом 615243. За ним следует 615324, что соответствует слову Ятиран.
Ответ
Ятиран.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
На тарелке лежат 9 разных кусочков сыра. Всегда ли можно разрезать один из них на две части так, чтобы полученные 10 кусочков делились бы на две порции равной массы по 5 кусочков в каждой?
Решение
Расположим кусочки в порядке возрастания массы: m1 < m2 < ... < m9. В одну группу положим 1-й, 3-й, 5-й и 7-й кусочки, в другую – 2-й, 4-й, 6-й и 8-й. Тогда m1 + m3 + m5 + m7 < m2 + m4 + m6 + m8. А если в первую группу добавить 9-й кусочек, то m1 + m3 + m5 + m7 + m9 > m2 + m4 + m6 + m8. Следовательно, достаточно разрезать 9-й кусочек.
Ответ
Всегда.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
В ряд лежит чётное число груш. Массы любых двух соседних груш отличаются не более чем на 1 г. Докажите, что можно все груши разложить по две в одинаковые пакеты и выложить пакеты в ряд так, чтобы массы любых двух соседних пакетов тоже отличались не более чем на 1 г.
Решение
Сначала выложим груши по возрастанию масс и докажем, что по-прежнему массы любых двух соседних груш отличаются не больше чем на 1 г. Пусть это не так: есть груша массы a, а следующая масса больше a + 1. Покрасим груши с массой не больше a в зелёный цвет, а груши с массой, большей
a + 1, – в жёлтый. В исходной расстановке где-то груши разного цвета лежат рядом, значит, разность их масс не больше 1. Противоречие.
В первый пакет положим первую грушу с последней, во второй – вторую с предпоследней и т. д. На каждом шаге добавляются два изменения масс разных знаков, что в сумме делает разность масс соседних пакетов по модулю не больше максимума разностей масс соответствующих пар соседних груш, то есть не более 1 г.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Из целых чисел от 0 до 1000 выбрали 101 число.
Докажите, что среди модулей их попарных разностей есть десять различных чисел, не превосходящих 100.
Решение
Пусть a0 < a1 < ... < a100 – выбранные числа, упорядоченные по возрастанию. Сумма десяти разностей a10 – a0, a20 – a10, ..., a100 – a90 равна
a100 – a0 ≤ 1000, поэтому одна из этих разностей не превосходит 100. Пусть это разность a10i+10 – a10i; тогда
0 < a10i+1 – a10i < a10i+2 – a10i < ... < a10i+10 – a10i ≤ 100.
Страница: 1
2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 96]
Фильтр
