Страница:
<< 35 36 37 38
39 40 41 >> [Всего задач: 1006]
|
[Рекуррентное соотношение для чисел Каталана]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Докажите, что числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению
Cn = C0Cn–1 + C1Cn–2 + ... + Cn–1C0.
Определение чисел Каталана Cn смотри в справочнике.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что если p – простое число, то
(a + b)p – ap – bp делится на p при любых целых a и b.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Докажите, что 
тогда и только тогда, когда β можно получить из α проделав несколько (может быть один раз или ни одного) операции вида
(k, j, i) ↔ (k – 1, j + 1, i), (k, j, i) ↔ (k – 1, j, i + 1), (k, j, i) ↔ (k, j – 1, i + 1).
(Эти операции можно представлять себе как сбрасывание одного кирпича вниз на диаграмме Юнга. Про диаграммы Юнга смотри здесь.)
|
[Производящие функции многочленов Чебышева]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:
Определения многочленов Чебышева можно найти в
справочнике.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Обозначим через Pk,l(n) количество разбиений числа n на не более чем k слагаемых, каждое из которых не превосходит l.
Докажите равенства:
а) Pk,l(n) – Pk,l–1(n) = Pk–1,l(n – l);
б) Pk,l(n) – Pk–1,l(n) = Pk,l–1(n – k);
в) Pk,l(n) = Pl,k(n);
г) Pk,l(n) = Pk,l(kl – n).
Страница:
<< 35 36 37 38
39 40 41 >> [Всего задач: 1006]
Фильтр
