Страница: << 77 78 79 80 81 82 83 >> [Всего задач: 1029]      

a₁, a₂, ..., a_n — произвольные натуральные числа. Обозначим через b_k количество чисел из набора a₁, a₂, ..., a_n, удовлетворяющих условию:  a_i ≥ k.
Доказать, что   a₁ + a₂ + ... + a_n = b₁ + b₂ + ...

Прислать комментарий

Решение

Испанский король решил перевесить по-своему портреты своих предшественников в круглой башне замка. Однако он хочет, чтобы за один раз меняли местами только два портрета, висящие рядом, причём это не должны быть портреты двух королей, один из которых царствовал сразу после другого. Кроме того, ему важно лишь взаимное расположение портретов, и два расположения, отличающиеся поворотом круга, он считает одинаковыми. Доказать, что как бы сначала ни висели портреты, король может по этим правилам добиться любого нового их расположения.

Прислать комментарий

Решение

На бесконечной шахматной доске проведена замкнутая несамопересекающаяся ломаная, проходящая по сторонам клеток. Внутри ломаной оказалось k чёрных клеток. Какую наибольшую площадь может иметь фигура, ограниченная этой ломаной?

Прислать комментарий

Решение

20 телефонов соединены проводами так, что каждый провод соединяет два телефона, каждая пара телефонов соединена не более чем одним проводом и от каждого телефона отходит не более двух проводов. Нужно закрасить провода (каждый провод целиком одной краской) так, чтобы от каждого телефона отходили провода разных цветов. Какого наименьшего числа красок достаточно для такой закраски?

Прислать комментарий

Решение

В колоде 36 карт, разложенных в таком порядке, что масти периодически чередуются в последовательности: пики, трефы, червы, бубны, пики, трефы, червы, бубны, и т. д. С колоды сняли часть, перевернули её как целое и врезали в оставшуюся. После этого карты снимают по четыре. Доказать, что в каждой четвёрке все масти разные.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 77 78 79 80 81 82 83 >> [Всего задач: 1029]