Страница:
<< 109 110 111 112
113 114 115 >> [Всего задач: 1029]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Для каждого натурального n обозначим через P(n) число разбиений n в сумму натуральных слагаемых (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми; например, P(4) = 5, потому что 4 = 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 – пять способов).
а) Количество различных чисел в данном разбиении назовем его разбросом (например, разбиение 4 = 1 + 1 + 2 имеет разброс 2, потому что в этом разбиении два различных числа). Докажите, что сумма Q(n) разбросов всех разбиений числа n равна 1 + P(1) + P(2) + ... + P(n–1).
б) Докажите, что 
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В стране N 1998 городов, и из каждого осуществляются беспосадочные
перелеты в три других города (все авиарейсы двусторонние). Известно, что
из каждого города, сделав несколько пересадок, можно долететь до любого
другого. Министерство Безопасности хочет объявить закрытыми 200 городов,
никакие два из которых не соединены авиалинией. Докажите, что это можно
сделать так, чтобы можно было долететь из каждого незакрытого города в
любой другой, не делая пересадок в закрытых городах.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
В некоторой группе из 12 человек среди каждых девяти найдутся пять попарно знакомых. Докажите, что в этой группе найдутся шесть попарно знакомых.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами, причём
между каждыми двумя городами существует единственный несамопересекающийся путь
по дорогам. Известно, что в стране ровно 100 городов, из которых выходит
по одной дороге. Докажите, что можно построить 50 новых дорог так, что после этого даже при закрытии любой дороги можно будет из каждого города попасть в любой другой.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
Гидры состоят из голов и шей (каждая шея соединяет ровно две головы). Одним ударом меча можно снести все шеи, выходящие из какой-то головы A гидры.
Но при этом из головы A мгновенно вырастает по одной шее во все головы,
с которыми A не была соединена. Геракл побеждает гидру, если ему удастся разрубить её на две несвязанные шеями части. Найдите наименьшее N, при котором Геракл сможет победить любую стошеюю гидру, нанеся не более чем N ударов.
Страница:
<< 109 110 111 112
113 114 115 >> [Всего задач: 1029]
Фильтр
