Страница: << 112 113 114 115 116 117 118 >> [Всего задач: 1029]      

  а) Четыре порта 1, 2, 3, 4 расположены (в этом порядке) на окружности круглого острова. Их связывает плоская сеть дорог, на которых могут быть перекрёстки, то есть точки, где пересекаются, сходятся или разветвляются дороги. На всех участках дорог введено одностороннее движение так, что, выехав от любого порта или перекрёстка, нельзя вернуться в него снова. Пусть  f_ij  означает число различных путей, идущих из порта i в порт j. Докажите неравенство   f₁₄f₂₃ ≥ f₁₃f₂₄.
  б) Докажите, что если портов шесть: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (по кругу в этом порядке), то   f₁₆f₂₅f₃₄ + f₁₅f₂₄f₃₆ + f₁₄f₂₆f₃₅ ≥ f₁₆f₂₄f₃₅ + f₁₅f₂₆f₃₄ + f₁₄f₂₅f₃₆.

Прислать комментарий

Решение

Для чисел 1, ..., 1999, расставленных по окружности, вычисляется сумма произведений всех наборов из 10 чисел, идущих подряд.
Найдите расстановку чисел, при которой полученная сумма наибольшая.

Прислать комментарий

Решение

Все имеющиеся на складе конфеты разных сортов разложены по n коробкам, на которые установлены цены в 1, 2, ..., n  у. е. соответственно. Требуется купить такие k из этих коробок наименьшей суммарной стоимости, которые содержат заведомо не менее ^k/_n массы всех конфет. Известно, что масса конфет в каждой коробке не превосходит массы конфет в любой более дорогой коробке.
  а) Какие коробки следует купить при  n = 10  и  k = 3 ?
  б) Тот же вопрос для произвольных натуральных  n ≥ k.

Прислать комментарий

Решение

Натуральные числа от 1 до n расставляются в ряд в произвольном порядке. Расстановка называется плохой, если в ней можно отметить 10 чисел (не обязательно стоящих подряд), идущих в порядке убывания. Остальные расстановки называются хорошими. Докажите, что количество хороших расстановок не превосходит 81ⁿ.

Прислать комментарий

Решение

Улицы города Дужинска – простые ломаные, не пересекающиеся между собой во внутренних точках. Каждая улица соединяет два перекрёстка и покрашена в один из трёх цветов: белый, красный или синий. На каждом перекрёстке сходятся ровно три улицы, по одной каждого цвета. Перекрёсток называется положительным, если при его обходе против часовой стрелки цвета улиц идут в следующем порядке: белый, синий, красный, и отрицательным в противном случае. Докажите, что разность между числом положительных и числом отрицательных перекрёстков кратна 4.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 112 113 114 115 116 117 118 >> [Всего задач: 1029]