Страница: << 131 132 133 134 135 136 137 >> [Всего задач: 1029]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61385

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Инварианты и полуинварианты ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Докажите, что если   a₁ ≥ a₂ ≥ ... ≥ a_n,   b₁ ≥ b₂ ≥ ... ≥ b_n,   то наибольшая из сумм вида   a₁b_k1 + a₂b_k2 + ... + a_nb_kn     (k₁, k₂, ..., k_n – перестановка чисел
1, 2, ..., n),  это сумма   a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n,   а наименьшая – сумма   a₁b_n + a₂b_n–1 + ... + a_nb₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67168

Темы:   [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Комбинаторика (прочее) ] [ Текстовые задачи (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 5,6,7,8

Сто сидений карусели расположены по кругу через равные промежутки. Каждое покрашено в жёлтый, синий или красный цвет. Сиденья одного и того же цвета расположены подряд и пронумерованы 1, 2, 3, ... по часовой стрелке. Синее сиденье № 7 противоположно красному № 3, а жёлтое № 7 — красному № 23. Найдите, сколько на карусели жёлтых сидений, сколько синих и сколько красных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35231

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Сочетания и размещения ] [ Раскладки и разбиения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Вычислите коэффициент при x¹⁰⁰ в многочлене  (1 + x + x² + ... + x¹⁰⁰)³  после приведения всех подобных членов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35362

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Деревья ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

У Царя Гвидона было 5 сыновей. Среди его потомков 100 имели каждый ровно по 3 сына, а остальные умерли бездетными.
Сколько потомков было у царя Гвидона?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35392

Темы:   [ Рекуррентные соотношения ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Тождественные преобразования ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Последовательность {a_n} определяется правилами:  a₀ = 9,    .
Докажите, что в десятичной записи числа a₁₀ содержится не менее 1000 девяток.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 131 132 133 134 135 136 137 >> [Всего задач: 1029]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями