Страница:
<< 132 133 134 135
136 137 138 >> [Всего задач: 1029]
|
[Ханойская башня I]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
а) Головоломка "Ханойская башня" представляет собой восемь дисков, нанизанных в порядке уменьшения размеров на один из трёх колышков. Требуется переместить всю башню на другой колышек, перенося каждый раз только один диск и не помещая больший диск на меньший. Докажите, что головоломка имеет решение. Какой способ будет оптимальным (по числу перекладываний дисков)?
б) Занумеруем колышки числами 1, 2, 3. Требуется переместить диски с 1-го колышка на 3-й. Сколько понадобится перекладываний, если прямое перемещение диска с 1-го колышка на 3-й и с 3-го на 1-й запрещено (каждое перекладывание должно производиться через 2-й колышек)?
в) Сколько понадобится перекладываний, если в условии пункта а) добавить дополнительное требование: первый (самый маленький) диск нельзя класть на 2-й колышек?
|
[Беспорядки]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
В классе 30 учеников. Сколькими способами они могут пересесть так, чтобы ни один не сел на своё место?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Город имеет форму квадрата 5×5:
Какую наименьшую длину может иметь маршрут, если нужно пройти по каждой улице этого города и вернуться в прежнее место? (По каждой улице можно проходить любое число раз.)
|
[Малая теорема Ферма]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Малая теорема Ферма. Пусть p – простое число и
p не делит a. Тогда ap–1 ≡ 1 (mod p).
Докажите теорему Ферма, разлагая (1 + 1 + ... + 1)p посредством полиномиальной теоремы (см. задачу 60400).
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что если a + b + c = 0, то 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2).
Страница:
<< 132 133 134 135
136 137 138 >> [Всего задач: 1029]
Фильтр
