Страница:
<< 177 178 179 180
181 182 183 >> [Всего задач: 1006]
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10,11
|
При дворе короля Артура собрались 2
n рыцарей, причём каждый из них имеет
среди присутствующих не более
n – 1 врага.
Доказать, что Мерлин, советник Артура, может так рассадить рыцарей за круглым столом, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом.
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10,11
|
По кругу расставлено несколько коробочек. В каждой из них может лежать один или несколько шариков (или она может быть пустой). За один ход разрешается взять все шарики из любой коробочки и разложить их, двигаясь по часовой стрелке, начиная со следующей коробочки, кладя в каждую коробочку по одному шарику.
а) Докажите, что если на каждом следующем ходе шарики берут из той коробочки, в которую попал последний шарик на предыдущем ходе, то в какой-то момент повторится начальное размещение шариков.
б) Докажите, что за несколько ходов из любого начального размещения шариков по коробочкам можно получить любое другое.
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10,11
|
В городе несколько площадей. Некоторые пары площадей соединены улицами с односторонним движением так, что с каждой площади можно выехать ровно по двум улицам. Докажите, что город можно разделить на 1014 районов так, чтобы улицами
соединялись только площади из разных районов, и для каждых двух районов все
соединяющие их улицы были направлены одинаково (либо все из первого района во
второй, либо наоборот).
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10,11
|
Фокусник с помощником собираются показать такой фокус. Зритель пишет на доске последовательность из N цифр. Помощник фокусника закрывает две соседних цифры чёрным кружком. Затем входит фокусник. Его задача – отгадать обе закрытые цифры (и порядок, в котором они расположены). При каком наименьшем N фокусник может договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10,11
|
В королевстве N городов, некоторые пары которых соединены непересекающимися дорогами с двусторонним движением (города из такой пары называются соседними). При этом известно, что из каждого города можно доехать до любого другого, но невозможно, выехав из некоторого города и двигаясь по различным дорогам, вернуться в исходный город.
Однажды Король провел такую реформу: каждый из N мэров городов стал снова мэром одного из N городов, но, возможно, не того города, в котором он работал до реформы. Оказалось, что каждые два мэра, работавшие в соседних городах до реформы, оказались в соседних городах и после реформы. Докажите, что либо найдётся город, в котором мэр после реформы не поменялся, либо найдётся пара соседних городов, обменявшихся мэрами.
Страница:
<< 177 178 179 180
181 182 183 >> [Всего задач: 1006]