Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 506]      

К Ивану на день рождения пришли 2$N$ гостей. У Ивана есть $N$ чёрных и $N$ белых цилиндров. Он хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или несколько) так, чтобы в каждом хороводе было хотя бы два человека и люди в цилиндрах одного цвета не стояли в хороводе рядом. Докажите, что Иван может устроить бал ровно $(2N)!$ различными способами. (Цилиндры одного цвета неразличимы; все гости различимы.)

Прислать комментарий

Решение

На плоскости сидят кузнечик Коля и 2020 его товарищей. Коля собирается совершить прыжок через каждого из остальных кузнечиков (в произвольном порядке) так, что начальная и конечная точка каждого прыжка симметричны относительно перепрыгиваемого кузнечика. Назовём точку финишной, если Коля может в неё попасть после 2020-го прыжка. При каком наибольшем числе $N$ найдётся начальная расстановка кузнечиков, для которой имеется ровно $N$ различных возможных финишных точек?

Прислать комментарий

Решение

a₁, a₂, ..., a_n — произвольные натуральные числа. Обозначим через b_k количество чисел из набора a₁, a₂, ..., a_n, удовлетворяющих условию:  a_i ≥ k.
Доказать, что   a₁ + a₂ + ... + a_n = b₁ + b₂ + ...

Прислать комментарий

Решение

Испанский король решил перевесить по-своему портреты своих предшественников в круглой башне замка. Однако он хочет, чтобы за один раз меняли местами только два портрета, висящие рядом, причём это не должны быть портреты двух королей, один из которых царствовал сразу после другого. Кроме того, ему важно лишь взаимное расположение портретов, и два расположения, отличающиеся поворотом круга, он считает одинаковыми. Доказать, что как бы сначала ни висели портреты, король может по этим правилам добиться любого нового их расположения.

Прислать комментарий

Решение

Числа 1, 2, 3, ..., N записываются в строчку в таком порядке, что если где-то (не на первом месте) записано число i, то где-то слева от него встретится хотя бы одно из чисел  i + 1  и  i – 1.  Сколькими способами это можно сделать?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 506]